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| Aufgabe | Bestimme die folgenden Intergrale mittels Substitution:
[mm] \integral_{0}^{1}{\bruch{1}{cosh(x)+1}+j\bruch{x+1}{\wurzel{x^2+2x+2}}} [/mm] dx |
Hallo,
mein Lösungsweg wäre zunächst einmal das Integral aufteilen:
[mm] \integral_{0}^{1}{\bruch{1}{cosh(x)+1}} [/mm] dx + [mm] \integral_{0}^{1}{j\bruch{x+1}{\wurzel{x^2+2x+2}}} [/mm] dx
Jetzt noch substituieren:
u=cosh(x)+1
[mm] v=x^2+2x+2
[/mm]
[mm] \integral_{2}^{2,54}{\bruch{1}{u}} [/mm] dx + [mm] \integral_{2}^{10}{j\bruch{x+1}{\wurzel{v}}} dx=[lnx]_{2}^{2,54}+j*\integral_{2}^{10}{\bruch{x+1}{\wurzel{v}}} [/mm] dx
Leider weiß ich hier nicht mehr weiter. Ich hoffe jemand kann helfen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:14 Di 10.02.2009 | | Autor: | glie |
> Bestimme die folgenden Intergrale mittels Substitution:
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> [mm]\integral_{0}^{1}{\bruch{1}{cosh(x)+1}+j\bruch{x+1}{\wurzel{x^2+2x+2}}}[/mm]
> dx
> Hallo,
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> mein Lösungsweg wäre zunächst einmal das Integral
> aufteilen:
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> [mm]\integral_{0}^{1}{\bruch{1}{cosh(x)+1}}[/mm] dx +
> [mm]\integral_{0}^{1}{j\bruch{x+1}{\wurzel{x^2+2x+2}}}[/mm] dx
>
> Jetzt noch substituieren:
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> u=cosh(x)+1
> [mm]v=x^2+2x+2[/mm]
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> [mm]\integral_{2}^{2,54}{\bruch{1}{u}}[/mm] dx +
> [mm]\integral_{2}^{10}{j\bruch{x+1}{\wurzel{v}}} dx=[lnx]_{2}^{2,54}+j*\integral_{2}^{10}{\bruch{x+1}{\wurzel{v}}}[/mm]
> dx
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> Leider weiß ich hier nicht mehr weiter. Ich hoffe jemand
> kann helfen.
Hallo Jenny,
mein erster Tip wäre, dass du beim Integrieren mittels Substitution zunächst die unbestimmten Integrale bestimmst, dann sparst du dir das lästige Umrechnen der Integrationsgrenzen.
Zu deinem zweiten Integral:
Deine Substitution passt: [mm] x^2+2x+2=u
[/mm]
Dann wird [mm] \bruch{du}{dx}=2x+2=2(x+1) \gdw \bruch{1}{2}du=(x+1)dx
[/mm]
Damit erhalten wir
[mm] \integral\bruch{x+1}{\wurzel{x^2+2x+2}}dx=\integral\bruch{1}{2\wurzel{u}}du=\wurzel{u}+c=\wurzel{x^2+2x+2}+c
[/mm]
Das zweite Integral ist kniffliger...braucht erstmal etwas Umformung bevor man vernünftig substituieren kann:
[mm] \integral\bruch{1}{coshx+1}dx=\integral\bruch{1}{\bruch{1}{2}(e^x+e^{-x})+1}dx=\integral\bruch{2}{e^x+e^{-x}+2}dx=\integral\bruch{2e^x}{(e^x)^2+2e^x+1}dx=\integral\bruch{2e^x}{(e^x+1)^2}dx
[/mm]
Jetzt wird substituiert
[mm] e^x+1=u
[/mm]
Damit gilt
[mm] \bruch{du}{dx}=e^x \gdw \mm{du=e^xdx}
[/mm]
Also erhalten wir
[mm] \integral\bruch{2}{z^2}dz=-\bruch{2}{z}+c=-\bruch{2}{e^x+1}+c
[/mm]
Gruß Glie
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Hallo und danke für die Antwort.
> Zu deinem zweiten Integral:
>
> Deine Substitution passt: [mm]x^2+2x+2=u[/mm]
>
> Dann wird [mm]\bruch{du}{dx}=2x+2=2(x+1) \gdw \bruch{1}{2}du=(x+1)dx[/mm]
Das verstehe ich nicht. Wo ist das [mm] x^2 [/mm] geblieben und warum =2(x+1)?
> [mm]\integral\bruch{1}{coshx+1}dx=\integral\bruch{1}{\bruch{1}{2}(e^x+e^{-x})+1}dx=\integral\bruch{2}{e^x+e^{-x}+2}dx=\integral\bruch{2e^x}{(e^x)^2+2e^x+1}dx=\integral\bruch{2e^x}{(e^x+1)^2}dx[/mm]
Wie du auf die letzten beiden Gleichungen kommst, verstehe ich nicht. Könntest du mir erklären, was du da gemacht hast?
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> Hallo und danke für die Antwort.
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> > Zu deinem zweiten Integral:
> >
> > Deine Substitution passt: [mm]x^2+2x+2=u[/mm]
> >
> > Dann wird [mm]\bruch{du}{dx}=2x+2=2(x+1) \gdw \bruch{1}{2}du=(x+1)dx[/mm]
>
> Das verstehe ich nicht. Wo ist das [mm]x^2[/mm] geblieben
Hallo,
da wurde doch u=u(x) [mm] =x^2+2x+2 [/mm] nach x abgeleitet.
> und warum
> =2(x+1)?
Klammere die 2 bei 2x+2 aus.
>
> >
> [mm]\integral\bruch{1}{coshx+1}dx=\integral\bruch{1}{\bruch{1}{2}(e^x+e^{-x})+1}dx=\red{\integral\bruch{2}{e^x+e^{-x}+2}dx}=\integral\bruch{2e^x}{(e^x)^2+2e^x+1}dx=\integral\bruch{2e^x}{(e^x+1)^2}dx[/mm]
>
> Wie du auf die letzten beiden Gleichungen kommst, verstehe
> ich nicht. Könntest du mir erklären, was du da gemacht
> hast?
Der Ausdruck im roten Integral wurde mit [mm] e^x [/mm] erweitert,
und vom vorletzten zum letzten kommt man, wenn man im Nenner die 1, binomische Formale verwendet.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:42 Di 10.02.2009 | | Autor: | glie |
> > Hallo und danke für die Antwort.
> >
> >
> > > Zu deinem zweiten Integral:
> > >
> > > Deine Substitution passt: [mm]x^2+2x+2=u[/mm]
> > >
> > > Dann wird [mm]\bruch{du}{dx}=2x+2=2(x+1) \gdw \bruch{1}{2}du=(x+1)dx[/mm]
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> >
> > Das verstehe ich nicht. Wo ist das [mm]x^2[/mm] geblieben
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> Hallo,
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> da wurde doch u=u(x) [mm]=x^2+2x+2[/mm] nach x abgeleitet.
>
>
> > und warum
> > =2(x+1)?
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> Klammere die 2 bei 2x+2 aus.
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> >
> > >
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> [mm]\integral\bruch{1}{coshx+1}dx=\integral\bruch{1}{\bruch{1}{2}(e^x+e^{-x})+1}dx=\red{\integral\bruch{2}{e^x+e^{-x}+2}dx}=\integral\bruch{2e^x}{(e^x)^2+2e^x+1}dx=\integral\bruch{2e^x}{(e^x+1)^2}dx[/mm]
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> > Wie du auf die letzten beiden Gleichungen kommst, verstehe
> > ich nicht. Könntest du mir erklären, was du da gemacht
> > hast?
>
> Der Ausdruck im roten Integral wurde mit [mm]e^x[/mm] erweitert,
>
> und vom vorletzten zum letzten kommt man, wenn man im
> Nenner die 1, binomische Formale verwendet.
>
> Gruß v. Angela
>
Hallo Angela,
danke dafür dass du meine Rechnung nochmal so schön erklärt hast. Gibts denn für dieses Integral noch einen einfacheren Weg? Ich hab leider keinen leichteren Weg gefunden ausser da ein wenig mit Umformungen herumzuexperimentieren, aber ich gebe zu, dass es nicht so einfach ist, auf so eine Lösung "draufzukommen"
Gruß Glie
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