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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:06 Do 03.03.2005 | | Autor: | Bat |
Ich brauche etwas Hilfe bei der Umformung einer partiellen Differentialgleichung, da ich mich mit Substitutionen von Variablen in Differentialausdrücken überhaupt nicht auskenne. Die Formelsammlung hilft mir leider auch nicht wirklich weiter...
Meine Ausgangsgleichung sieht folgendermaßen aus:
[mm] \bruch{\partial n}{\partial t} - v(t)*\bruch{\partial n}{\partial x}=f(x)-H(x)*n(x,t) [/mm]
Nun definiere ich mir:
[mm] \varphi(x,t)=x+ \beta(t) [/mm]
wobei [mm] \beta(t)= \integral_{0}^{t} {v(s) ds} [/mm]
Ich kann also x schreiben als:
[mm] x=\varphi(x,t)-\beta(t) [/mm]
Meine Ausgangsgleichung soll sich damit wie folgt verändern:
[mm] \bruch{\partial n}{\partial t}=f\{\varphi-\beta(t)\}-H\{\varphi-\beta(t)\}*n(\varphi,t) [/mm]
Mir sind Ausgangszustand und Endzustand meiner Gleichung bekannt, aber ich würde gerne verstehen warum meine Gleichung am Ende so aussieht wie sie aussieht?!? Mir fehlen Zwischenschritte...
Ich habe vor allem Probleme mit dem linken Teil der Gleichung, weil dort doch einiges wegfällt durch die Substitution.
Bin gespannt, ob Ihr mir helfen könnt!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:15 Fr 04.03.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Ich bezeichne die Funktion, die von [mm] $\varphi$ [/mm] und $t$ abhängt, mal mit [mm] $\tilde{n}$, [/mm] damit wir sie besser unterscheiden können.
Dann gilt wegen [mm] $x=\varphi-\beta$ [/mm] sicherlich
(*) [mm] $\frac{\partial \tilde{n}}{ \partial \varphi} [/mm] = [mm] \frac{\partial n}{\partial x}$,
[/mm]
offenbar
(**) [mm] $\frac{\partial \varphi}{\partial t} [/mm] = [mm] \frac{\partial \beta}{\partial t} [/mm] = v(t)$
und weiterhin nach der Kettenregel:
[mm] $\frac{\partial \tilde{n}}{\partial \varphi} \cdot \frac{\partial \varphi}{\partial t} [/mm] + [mm] \frac{\partial \tilde{n}}{\partial t} [/mm] = [mm] \frac{\partial n}{\partial x} \cdot \frac{\partial x}{\partial t} [/mm] + [mm] \frac{\partial n}{\partial t}$.
[/mm]
Wegen [mm] $\frac{\partial x}{\partial t}=0$ [/mm] bedeutet dies:
[mm] $\frac{\partial n}{\partial t} [/mm] = [mm] \frac{\partial \tilde{n}}{\partial \varphi} \cdot \frac{\partial \varphi}{\partial t} [/mm] + [mm] \frac{\partial \tilde{n}}{\partial t} \stackrel{(\*),(\*\*)}{=} \frac{\partial n}{\partial x} \cdot [/mm] v(t) + [mm] \frac{\partial \tilde{n}}{\partial t}$.
[/mm]
Daraus folgt unmittelbar die Behauptung.
Jetzt weiß ich auch wieder, warum ich Partielle Differentialgleichungen hasse. 
Liebe Grüße
Stefan
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