Substi. o. Part. Intergration? < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:53 Sa 25.03.2006 | | Autor: | Yna |
| Aufgabe | Ermittle die Stammfunktion:
[mm]\integral_{}^{}{ xe^{x^{2}} dx}[/mm] |
Hallo,
eigentlich soll ich die Aufgabe mit Substitution lösen, da ich da aber keine Idee hatte, wie das funktionieren soll, habe ich es partieller Integration versucht:
[mm]v' = e^{x^{2}} [/mm]
[mm]v = \bruch{1}{2}e^{x^{2}}[/mm]
u = x
[mm]\bruch{1}{2}e^{x^{2}}x - \integral_{}^{}{ \bruch{1}{2}e^{x^{2}} dx}[/mm]
[mm] = \bruch{1}{2}e^{x^{2}}x - \bruch{1}{4}e^{x^{2}}[/mm]
Jetzt habe ich zwar ein Ergebnis, aber leider sagt mir die Lösung etwas anderes... funktioniert die partielle Integration so?
Kann mir vielleicht jemand erklären, wie ich da die Substitution anwenden soll? Habe vor lauter lernen wahrscheinlich schon wieder ein riesiges Brett vor dem Kopf, aber ich grübel jetzt schon fast eine halbe Stunde über dieser Aufgabe und bin langsam am Verzweifeln. ;)
Achja, die Lösung wäre: [mm]\bruch{1}{2}e^{x^{2}}[/mm]
Danke schon mal. :)
LG,
Yna
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Hallo Yna!
> [mm]v' = e^{x^{2}}[/mm]
>
> [mm]v = \bruch{1}{2}e^{x^{2}}[/mm]
Diese Stammfunktion ist nicht richtig.
Denn wenn du $v$ mal ableitest, dann erhälst du [mm] x*e^{x^2}.
[/mm]
> Kann mir vielleicht jemand erklären, wie ich da die
> Substitution anwenden soll?
Substituiere den Exponenten, also [mm] t=x^2.
[/mm]
Nun das Differential ändern: [mm] \bruch{dt}{dx}=2x \Rightarrow dx=\bruch{dt}{2x}
[/mm]
Nun alles ins Integral einsetzten:
[mm] \integral_{}^{}{x*e^{t} \bruch{dt}{2x}}
[/mm]
Das $x$ kürzt sich raus, und dann kannst du das Integral ganz normal lösen.
Und am Ende natürlich noch Resubstituieren, also für das $t$ wieder [mm] x^2 [/mm] einsetzen.
LG, Nadine
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:36 Sa 25.03.2006 | | Autor: | Yna |
> Hallo Yna!
>
Hallo Nadine,
>
> > [mm]v' = e^{x^{2}}[/mm]
> >
> > [mm]v = \bruch{1}{2}e^{x^{2}}[/mm]
>
>
>
> Diese Stammfunktion ist nicht richtig.
>
> Denn wenn du [mm]v[/mm] mal ableitest, dann erhälst du [mm]x*e^{x^2}.[/mm]
>
hmm... also ich leite [mm]e^{x^{2}}[/mm] mit der Kettenregel so ab:
[mm] ((e^{x})^{2} )' = 2 * (e^{x})*e^{x} = 2e^{x})^{2}[/mm]
oder nicht? Jetzt bin ich verwirrt, ich meine ich hätte das immer so gemacht und es wäre richtig gewesen. ;)
> Substituiere den Exponenten, also [mm]t=x^2.[/mm]
>
> Nun das Differential ändern: [mm]\bruch{dt}{dx}=2x \Rightarrow dx=\bruch{dt}{2x}[/mm]
>
> Nun alles ins Integral einsetzten:
>
> [mm]\integral_{}^{}{x*e^{t} \bruch{dt}{2x}}[/mm]
>
> Das [mm]x[/mm] kürzt sich raus, und dann kannst du das Integral ganz
> normal lösen.
>
> Und am Ende natürlich noch Resubstituieren, also für das [mm]t[/mm]
> wieder [mm]x^2[/mm] einsetzen.
>
Resubstituieren wusst ich noch, mir war nur der Weg davor nicht klar, weil ich immer versucht hab das [mm]e^{x}[/mm] zu ersetzen, das hat mich natürlich kein Stück weiter gebracht. ;) Den Exponenten zu ersetzen ist da natürlich besser. Danke. :)
LG,
Yna
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:48 Sa 25.03.2006 | | Autor: | Blacky |
> hmm... also ich leite [mm]e^{x^{2}}[/mm] mit der Kettenregel so ab:
>
> [mm]((e^{x})^{2} ) = 2 * (e^{x})*e^{x} = 2e^{x})^{2}[/mm]
>
> oder nicht? Jetzt bin ich verwirrt, ich meine ich hätte das
> immer so gemacht und es wäre richtig gewesen. ;)
Nein, wenn du es so gemacht hast, wars schon immer falsch :|
[mm] ((e^{x})^{2} )=e^{2x} [/mm] aber nicht [mm] e^{x^2}
[/mm]
[mm] e^{x^2}=(e^x)^x
[/mm]
Die Ableitung lautet also [mm] 2x*e^{x^2}
[/mm]
mfg blacky
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:52 Sa 25.03.2006 | | Autor: | Yna |
> > hmm... also ich leite [mm]e^{x^{2}}[/mm] mit der Kettenregel so ab:
> >
> > [mm]((e^{x})^{2} ) = 2 * (e^{x})*e^{x} = 2e^{x})^{2}[/mm]
> >
> > oder nicht? Jetzt bin ich verwirrt, ich meine ich hätte das
> > immer so gemacht und es wäre richtig gewesen. ;)
>
> Nein, wenn du es so gemacht hast, wars schon immer falsch
> :|
> [mm]((e^{x})^{2} )=e^{2x}[/mm] aber nicht [mm]e^{x^2}[/mm]
> [mm]e^{x^2}=(e^x)^x[/mm]
oooooooh... Ja das stimmt natürlich! Habe mal wieder alles durcheinander gebracht. Habe ich zum Glück doch nicht immer so gemacht. ;) Hätte ja auch auffallen müssen! Oh man. :) Ich sag ja: Brett vorm Kopf. :|
Aber danke dir :)
> Die Ableitung lautet also [mm]2x*e^{x^2}[/mm]
>
> mfg blacky
LG,
Yna
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