Subst. mit Polarkoordinaten < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:47 So 28.11.2010 | | Autor: | Teufel |
| Aufgabe | Löse:
x'(t)=y(t)
y'(t)=-x(t)
unter Verwendung
[mm] x(t)=r(t)*cos(\varphi(t))
[/mm]
[mm] y(t)=r(t)*sin(\varphi(t)). [/mm] |
Hi!
Ich muss eine schwierigere Aufgabe der Form lösen, aber selbst bei dem einfachen Beispiel (das ich im Internet gefunden habe) weiß ich nicht, was ich genau machen soll.
x'(t)=y(t)
y'(t)=-x(t)
Eingesetzt:
[mm] r'(t)*cos(\varphi(t))-r(t)*sin(\varphi(t))\varphi '(t)=r(t)*sin(\varphi(t))
[/mm]
[mm] r'(t)*sin(\varphi(t))+r(t)*cos(\varphi(t))\varphi '(t)=-r(t)*cos(\varphi(t))
[/mm]
Doch was nun?
Ich kann das noch umformen zu
[mm] $r'(t)*cos(\varphi(t))=r(t)*sin(\varphi(t))*(1+\varphi [/mm] '(t))$
[mm] $r'(t)*sin(\varphi(t))=-r(t)*cos(\varphi(t))*(1+\varphi [/mm] '(t))$
aber ich weiß nicht, wie ich da jetzt r oder [mm] \varphi [/mm] raushebeln könnte, falls das überhaupt das Ziel sein soll. Ich habe schon versucht eine Gleichung abzuleiten und die andere ins Ergebnis einzusetzen, aber das half auch nichts. Oder beide Gleichungen quadrieren und dann addieren. Ich kenne da leider keine guten Tricks, da wir so etwas noch nicht gemacht haben. :/ Im Internet findet man dort auch nicht so viel zu. Kann mir bitte jemand sagen, wie man solche Biester erlegt?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:59 So 28.11.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo Teufel!
> Löse:
>
> x'(t)=y(t)
> y'(t)=-x(t)
>
> unter Verwendung
> [mm]x(t)=r(t)*cos(\varphi(t))[/mm]
> [mm]y(t)=r(t)*sin(\varphi(t)).[/mm]
> Hi!
>
> Ich muss eine schwierigere Aufgabe der Form lösen, aber
> selbst bei dem einfachen Beispiel (das ich im Internet
> gefunden habe) weiß ich nicht, was ich genau machen soll.
>
> x'(t)=y(t)
> y'(t)=-x(t)
>
> Eingesetzt:
>
> [mm]r'(t)*cos(\varphi(t))-r(t)*sin(\varphi(t))\varphi '(t)=r(t)*sin(\varphi(t))[/mm]
>
> [mm]r'(t)*sin(\varphi(t))+r(t)*cos(\varphi(t))\varphi '(t)=-r(t)*cos(\varphi(t))[/mm]
>
> Doch was nun?
>
> Ich kann das noch umformen zu
>
> [mm]r'(t)*cos(\varphi(t))=r(t)*sin(\varphi(t))*(1+\varphi '(t))[/mm]
>
> [mm]r'(t)*sin(\varphi(t))=-r(t)*cos(\varphi(t))*(1+\varphi '(t))[/mm]
>
> aber ich weiß nicht, wie ich da jetzt r oder [mm]\varphi[/mm]
> raushebeln könnte, falls das überhaupt das Ziel sein
> soll. Ich habe schon versucht eine Gleichung abzuleiten und
> die andere ins Ergebnis einzusetzen, aber das half auch
> nichts. Oder beide Gleichungen quadrieren und dann
> addieren. Ich kenne da leider keine guten Tricks, da wir so
> etwas noch nicht gemacht haben. :/ Im Internet findet man
> dort auch nicht so viel zu. Kann mir bitte jemand sagen,
> wie man solche Biester erlegt?
Bei solchen Gleichungssystemen besteht der Trick meistens in der Ausnutzungs der Additionstheoreme.
Nimm die erste Gleichung mit [mm] $\cos\varphi$ [/mm] mal, die zweite mit [mm] $\sin\varphi$ [/mm] und addiere. Dann umgekehrt multiplizieren und die Differenz bilden. Als Ergebnis entkoppeln die beiden Gleichungen für $r'$ und [mm] $\varphi'$.
[/mm]
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:11 So 28.11.2010 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Vielen Dank, das habe ich jetzt gar nicht gesehen. Ja, damit geht es sehr einfach, [mm] r(t)=c_1=const. [/mm] und [mm] \varphi(t)=c_2-t.
[/mm]
[mm] \rightarrow \vektor{x(t) \\ y(t)}=c_1*\vektor{cos(c_2-t) \\ sin(c_2-t)}, [/mm] was Kreise um (0,0) sind. Stimmt auch mit dem Ergebnis überein, dass ich ohne Verwendung Polarkoordinaten erhalten habe.
Danke nochmals!
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