Subgroup gen. by residue class < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:51 Fr 26.03.2010 | | Autor: | Arcesius |
| Aufgabe | | What is the order of the subgroup of [mm] (\IZ/7^{100}\IZ)^{\times} [/mm] generated by the residue class of 18? |
Hallo zusammen
Ich brauche ein bisschen Hilfe bei dieser Aufgabe.. ich komme nicht auf den richtigen Ansatz..
Ok, wir haben also die Einheitengruppe von [mm] \IZ/7^{100}\IZ. [/mm] Da 18 teilerfremd zu 7 ist, so ist 18 natürlich eine Einheit in dieser Gruppe und generiert eine Untergruppe H von G := [mm] (\IZ/7^{100}\IZ)^{\times}, [/mm] also H = <18>.
Gesucht ist nun |H| = r.
Meine erste Frage, bei der ich mir nicht sicher bin... Da [mm] \IZ [/mm] ein Ring ist, bildet es eine Gruppe bezüglich der Addition.. Somit besteht H nicht aus den Potenzen von 18 mod [mm] 7^{100}, [/mm] sondern aus den Vielfachen, also k*18 mod [mm] 7^{100}. [/mm] Stimmt das?
Falls ja, wäre ja der Ansatz:
k*18 [mm] \equiv [/mm] 0 (mod [mm] 7^{100})
[/mm]
Man müsste das kleinste k ausrechnen, für welches diese Gleichung erfüllt ist... Doch wie mache ich das?
Sonst, mein zweiter Ansatz wäre:
18 ist teilerfremd zu 7 und somit eine Einheit in [mm] \IZ/7^{100}\IZ. [/mm] Nach Euler gilt dann:
[mm] a^{\varphi(n)} \equiv [/mm] 1 (mod n) [mm] \Leftrightarrow 18^{\varphi(7^{100})} \equiv [/mm] 1 (mod [mm] 7^{100})
[/mm]
Das würde bedeuten, |H| = [mm] \varphi(7^{100})
[/mm]
Ich wäre um jeden Tipp dankbar.. :)
0
Grüsse, Amaro
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:29 Fr 26.03.2010 | | Autor: | felixf |
Moin Amaro!
> What is the order of the subgroup of
> [mm](\IZ/7^{100}\IZ)^{\times}[/mm] generated by the residue class of
> 18?
>
> Hallo zusammen
>
> Ich brauche ein bisschen Hilfe bei dieser Aufgabe.. ich
> komme nicht auf den richtigen Ansatz..
>
> Ok, wir haben also die Einheitengruppe von [mm]\IZ/7^{100}\IZ.[/mm]
> Da 18 teilerfremd zu 7 ist, so ist 18 natürlich eine
> Einheit in dieser Gruppe und generiert eine Untergruppe H
> von G := [mm](\IZ/7^{100}\IZ)^{\times},[/mm] also H = <18>.
>
> Gesucht ist nun |H| = r.
Genau!
> Meine erste Frage, bei der ich mir nicht sicher bin... Da
> [mm]\IZ[/mm] ein Ring ist, bildet es eine Gruppe bezüglich der
> Addition..
Du bist jedoch in der multiplikativen Gruppe.
> Somit besteht H nicht aus den Potenzen von 18
> mod [mm]7^{100},[/mm] sondern aus den Vielfachen, also k*18 mod
> [mm]7^{100}.[/mm] Stimmt das?
Nein, $H$ besteht aus den Potenzen von 18 (modulo [mm] $7^{100}$).
[/mm]
> Falls ja, wäre ja der Ansatz:
>
> k*18 [mm]\equiv[/mm] 0 (mod [mm]7^{100})[/mm]
>
> Man müsste das kleinste k ausrechnen, für welches diese
> Gleichung erfüllt ist... Doch wie mache ich das?
Du nimmst $k = [mm] \frac{7^{100}}{ggT(18, 7^{100})}$.
[/mm]
> Sonst, mein zweiter Ansatz wäre:
>
> 18 ist teilerfremd zu 7 und somit eine Einheit in
> [mm]\IZ/7^{100}\IZ.[/mm] Nach Euler gilt dann:
>
> [mm]a^{\varphi(n)} \equiv[/mm] 1 (mod n) [mm]\Leftrightarrow 18^{\varphi(7^{100})} \equiv[/mm]
> 1 (mod [mm]7^{100})[/mm]
Das ist nicht aequivalent; aber das zweite folgt aus dem ersten.
> Das würde bedeuten, |H| = [mm]\varphi(7^{100})[/mm]
Nein, das bedeutet nur, dass $|H|$ ein Teiler von [mm] $\varphi(7^{100})$ [/mm] ist.
Nun ist [mm] $\varphi(7^{100}) [/mm] = 6 [mm] \cdot 7^{99}$, [/mm] womit als Teiler nur [mm] $7^k$, [/mm] $2 [mm] \cdot 7^k$, [/mm] $3 [mm] \cdot 7^k$, [/mm] $6 [mm] \cdot 7^k$ [/mm] in Frage kommen, $k [mm] \in \{ 0, \dots, 99 \}$.
[/mm]
Ich wuerde das ganze erstmal modulo 7 (anstelle modulo [mm] $7^{100}$) [/mm] anschauen. Dann sieht man schnell, dass es nur $3 [mm] \cdot 7^k$ [/mm] oder $6 [mm] \cdot 7^k$ [/mm] sein kann.
Tipp: versuche zu zeigen, dass [mm] $18^{3 \cdot 7^{k - 3}} \equiv [/mm] 1 [mm] \pmod{7^k}$ [/mm] ist, und [mm] $18^{3 \cdot 7^{k - 4}} \not\equiv [/mm] 1 [mm] \pmod{7^k}$. [/mm] Ich hab es nur fuer kleine Werte von $k$ getestet, aber ich vermute es gilt allgemein 
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:41 Sa 27.03.2010 | | Autor: | Arcesius |
Hallo Felix!
Danke für deine Antwort.. ich schaue mir das mal an und komm später mit weiteren Fragen ;)
Grüsse, Amaro
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