Strong maximum principle < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:51 Do 09.08.2012 | | Autor: | kalor |
Hallo!
Wenn ich eine offene Menge $O$ habe, die beschränkt sei und eine Funktion [mm] $u\in C^2(O)\cap C(\overline{O})$, [/mm] welche harmonisch auf $O$ ist. Nehmen wir an, dass ich gezeigt habe, dass wenn $O$ zusammenhängend ist und es ein Punkt [mm] $z\in [/mm] O$ gibt mit
[mm] $$u(z)=\max_{\overline{O}}u$$
[/mm]
dann ist u konstant auf $O$. Wieso folgt nun für nicht zusammenhängendes $O$, dass
[mm] $$\max_{\overline{O}}u=\max_{\partial O}u$$
[/mm]
Danke!
greetz
KaloR
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:30 Do 09.08.2012 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Kann man nicht einfach $O$ in seine Zusammenhangskomponenten zerlegen? Ich bin mir nicht ganz sicher, aber wenn sagen wir $O=X [mm] \cup [/mm] Y$ eine disjunkte Zerlegung ist mit $X,Y$ offen und zusammenhängend, dann gilt doch folgendes:
Wenn das Maximum auf X angenommen wird, dann ist $u$ auf $X$ konstant, da $X$ zusammenhängend ist. Dann nimmt $u$ das Maximum aber auch auf dem Rand von $O$ an, weil $u$ ja dann auch auf [mm] $\partial [/mm] X$ das Maximum annimmt (und [mm] $\partial [/mm] X [mm] \subset \partial [/mm] O$).
Und wenn $u$ das Maximum auf dem Rand von $X$ annimmt, ist eh nichts zu zeigen.
Analog mit $Y$.
Und das Argument kann man natürlich für noch mehr Mengen hochziehen. Man muss nur begründen, dass man $O$ immer so schön zerlegen kann. Oder dürft ihr davon ausgehen?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:22 So 19.08.2012 | | Autor: | kalor |
Hallo Teufel
Kurze Frage habe ich noch.
> Hi!
>
> Kann man nicht einfach [mm]O[/mm] in seine Zusammenhangskomponenten
> zerlegen? Ich bin mir nicht ganz sicher, aber wenn sagen
> wir [mm]O=X \cup Y[/mm] eine disjunkte Zerlegung ist mit [mm]X,Y[/mm] offen
> und zusammenhängend, dann gilt doch folgendes:
>
> Wenn das Maximum auf X angenommen wird, dann ist [mm]u[/mm] auf [mm]X[/mm]
> konstant, da [mm]X[/mm] zusammenhängend ist. Dann nimmt [mm]u[/mm] das
> Maximum aber auch auf dem Rand von [mm]O[/mm] an, weil [mm]u[/mm] ja dann
> auch auf [mm]\partial X[/mm] das Maximum annimmt (und [mm]\partial X \subset \partial O[/mm]).
>
Wieso nimmt $u$ das Maximum auch auf [mm] $\pratial [/mm] X$ an? Ich weiss ja nur, dass $u$ konstant das Maximum ist innerhalb von $X$ .
Grüsse
hula
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:11 So 19.08.2012 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Wenn $u$ konstant auf $X$, dann wird das Maximum überall auf X angenommen. Insbesondere eben auch auf dem Rand!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:25 So 19.08.2012 | | Autor: | kalor |
Hallo Teufel
Danke für deine Geduld. Ich wäre einverstanden, wenn $X$ abgeschlossen wäre. Aber es gilt doch : [mm] $\overline{X}=X\cup \partial [/mm] $X$. Also im Normalfall gehört doch der Rand nicht zur Menge $X$ dazu! Oder sehe ich etwas falsch?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:26 So 19.08.2012 | | Autor: | Teufel |
Ah, ok. Also u ist ja auch auf ganz [mm] \overline{X} [/mm] stetig (nach Voraussetzung) und weil u auf X konstant ist, muss u aus Stetigkeitsgründen auch auch dem Rand nochmal den selben Wert annehmen (z.B. durch Folgenkriterium).
Du hast alles richtig gesehen!
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