Strömungsfeld 2 < Elektrotechnik < Ingenieurwiss. < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 23:31 Di 19.06.2012 | | Autor: | Elektro21 |
| Aufgabe | Hallo ich habe gerade ein Problem bei einer weiteren strömungsfeld aufgabe.
Gegeben sei ein Zylinder mit unendlich gut leitender Außenwand sowie unendlich gut leitendem
Innenleiter des Durchmessers d. Zwischen Außenwand und Innenleiter liege die Spannung
U an. Die Stirnseiten seien ideal isoliert und der Abstand zwischen Innenleiter und Außenleiter
sei b. Im nicht gekennzeichneten Bereich ist die Leitfähigkeit γ ebenfalls 0. Randeffekte
sind zu vernachlässigen.
Der Raum zwischen Innenleiter und Zylinderwand ist mit einem Material (εr = 2) gefüllt, welches
eine Leitfähigkeit hat, die durch folgende Gleichung beschrieben wird:
gamma (x) = gamma* ( 1 - (x)/(l) )
(4.1) Wie hoch ist die axiale Stromdichte J(x) direkt am Innenleiter?
(4.2) Zeichnen sie den Verlauf der axialen Stromdichte zwischen x = 0 und x = l.
(4.3) Wie hoch ist der Gesamtstrom I ?
(4.4) Zum Zeitpunkt t = 0 wird die Spannungsquelle abgetrennt. Berechnen sie den Spannungsverlauf
nach diesem Zeitpunkt.
Ich weiss das ich bei der 4.1 mit der Formel J= gamma *E
arbeiten muss , aber irgendwie weiter komme ich trotzdem nicht. |
Ich habe die frage in keinem forum gestellt.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: rtf) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:35 Mi 20.06.2012 | | Autor: | Diophant |
Hallo Elektro21,
du hast jetzt schon zum wiederholten Mal eine Grafik, anstatt sie direkt hochzuladen, in eine Word- oder RTF-Datei gepackt und diese dann hochgeladen. Nur zur Information: das ändert an der Urheberrechtsfrage nichts, es erschwert nur die Urheberrechtsprüfung.
Im vorliegenden Fall kann man wegen der schlechten Bildqualität nur zu einem Ergebnis kommen: das Bild ist Teil eines Scans. Dann bist du aber nach aller Logik nicht der Urheber, sonst musst du das Bild nicht einscannen sondern kannst es direkt elektronisch weiterverabeiten. Allerdings hast du angegeben, der Urheber zu sein.
Ich habe daher diesen Dateianhang gesperrt und bitte dich, in Zukunft nur noch Bilder direkt hochzuladen und auch nur noch solche, die du selbst erstellt hast. Eine falsche Urheberrechtsangabe ist übrigens für das Moderatoren-Team ein zwingender Grund zur Sperrung, selbst wenn ein Veröffentlichungsrecht vorliegt.
Gruß, Diophant
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Guten Morgen!
Wir haben exakt die gleiche Aufgabe schon einmal besprochen, sodass meine nachfolgenden Hilfestellungen genau hier ansetzen. Du brauchst jetzt nicht einmal mehr die Problemstellung anpassen sondern kannst ganz bequem einfach ablesen. Wir waren stehengeblieben bei der Bestimmung der eindeutig lösbaren Potentialfunktion
(1) [mm] \Phi(\varrho)=C_{1}*ln(\varrho)+C_{2},
[/mm]
wobei [mm] C_{1} [/mm] und [mm] C_{2} [/mm] noch zu bestimmende Integrationskonstanten darstellen. Im Hinblick auf meine damaligen Ausführungen liegen darüber hinaus die folgenden Randbedingungen für das elektrische Potential vor
(2) [mm] \Phi\vektor{\varrho=\bruch{d}{2}}=U
[/mm]
(3) [mm] \Phi\vektor{\varrho=b+\bruch{d}{2}}=0.
[/mm]
Arbeitet man diese Bedingungen in Gleichung (1) ein, so ergibt sich nach Lösung des Gleichungssystems
(4) [mm] \Phi(\varrho)=U*\bruch{ln\vektor{\bruch{\varrho}{b+\bruch{d}{2}}}}{ln\vektor{\bruch{\bruch{d}{2}}{b+\bruch{d}{2}}}}, [/mm] mit [mm] C_{1}=U*\vektor{ln\vektor{\bruch{\bruch{d}{2}}{b+\bruch{d}{2}}}}^{-1} [/mm] und [mm] C_{2}=-U*\vektor{ln\vektor{\bruch{\bruch{d}{2}}{b+\bruch{d}{2}}}}^{-1}*ln\vektor{b+\bruch{d}{2}}.
[/mm]
Bitte überprüfe dieses Ergebnis, indem du die entsprechenden Randbedingungen in Gleichung (4) einsetzt. Aus den Maxwell´schen Gleichungen erhält man nun im Rahmen der Wirbelfreiheit des elektrostatischen Feldes gemäß
(5) [mm] rot\vec{E}=\vec{0}\Rightarrow\vec{E}=-grad\Phi
[/mm]
die Möglichkeit der Berechnung des elektrischen Feldes aus der Potentialfunktion. Für homogene, isotrope und lineare Materialen gilt indes der Zusammenhang
(6) [mm] \vec{J}=\kappa*\vec{E}.
[/mm]
Es ist also zunächst
(7) [mm] \vec{E}=-grad\vektor{U*\bruch{ln\vektor{\bruch{\varrho}{b+\bruch{d}{2}}}}{ln\vektor{\bruch{\bruch{d}{2}}{b+\bruch{d}{2}}}}}.
[/mm]
Den Gradienten darfst du jetzt mal ausrechnen; zu bestimmen ist eine einfache Ableitung mit Hilfe der Kettenregel.
Hinweis: Es ist
(8) [mm] \bruch{d}{dx}\vektor{ln(a+x)}=\bruch{d}{dx}\vektor{ln(x)\circ(a+x)}=\bruch{1}{x}\circ(a+x)*1=\bruch{1}{a+x}, [/mm] für [mm] x\not=-a.
[/mm]
Viele Grüße, Marcel
PS: Bitte stelle noch einmal eine eigenhändige Skizze der Problemstellung zur Verfügung, sodass sich potentielle Interessenten an der Diskussion beteiligen können.
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Hi Marcel kannst du mit bitte sagen wie ich bei der ersten aufgabe rechnerisch auf das E komme. Ich kann das noch nicht so richtig nachvollziehen.
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> Hi Marcel kannst du mit bitte sagen wie ich bei der ersten
> aufgabe rechnerisch auf das E komme. Ich kann das noch
> nicht so richtig nachvollziehen.
Ich bitte dich nochmals darum, eine Skizze der Aufgabe hochzuladen, damit auch andere Forenmitglieder an dieser Diskussion teilhaben können. Ich selbst kenne die Aufgabe auch nicht mehr genau und kann mich nur an meinen damaligen Berechnungen orientieren. Zu berechnen ist jedenfalls der Gradient in Gleichung (7), wobei sich die vorherigen Berechnungen auf ein Zylinderkoordinatensystem beziehen. Außerdem ist das elektrische Potential nur vom Radius [mm] \varrho [/mm] abhängig, sodass man zunächst für den Gradienten
(9) [mm] grad\Phi=\vektor{\bruch{\partial}{\partial\varrho}\Phi(\varrho)}\vec{e}_{\varrho}
[/mm]
erhält. Einsetzen der Potentialfunktion in Gleichung (9) liefert unmittelbar
(10) [mm] grad\Phi(\varrho)=\bruch{\partial}{\partial\varrho}\vektor{U\cdot{}\bruch{ln\vektor{\bruch{\varrho}{b+\bruch{d}{2}}}}{ln\vektor{\bruch{\bruch{d}{2}}{b+\bruch{d}{2}}}}}\vec{e}_{\varrho}=\bruch{U}{ln\vektor{\bruch{\bruch{d}{2}}{b+\bruch{d}{2}}}}\bruch{\partial}{\partial\varrho}\vektor{ln(\varrho)\circ\vektor{\bruch{\varrho}{b+\bruch{d}{2}}}}\vec{e}_{\varrho}=\bruch{U}{ln\vektor{\bruch{\bruch{d}{2}}{b+\bruch{d}{2}}}}\bruch{1}{\varrho}\vec{e}_{\varrho}.
[/mm]
Aus der Wirbelfreiheit des elektrostatischen Feldes folgt dann schließlich die elektrische Feldstärke
(11) [mm] \vec{E}=-grad\Phi(\varrho)=-\bruch{U}{ln\vektor{\bruch{\bruch{d}{2}}{b+\bruch{d}{2}}}}\bruch{1}{\varrho}\vec{e}_{\varrho} [/mm]
sowie die elektrische Stromdichte
(12) [mm] \vec{J}=\kappa\vec{E}=-\bruch{U}{ln\vektor{\bruch{\bruch{d}{2}}{b+\bruch{d}{2}}}}\bruch{\kappa(z)}{\varrho}\vec{e}_{\varrho}.
[/mm]
Abschließend ergibt sich für die Stromdichte direkt am Innenleiter
(13) [mm] \vec{J}\vektor{\varrho=\bruch{d}{2}}=-\bruch{U}{ln\vektor{\bruch{\bruch{d}{2}}{b+\bruch{d}{2}}}}\bruch{\kappa(z)}{\bruch{d}{2}}\vec{e}_{\varrho}=\bruch{U}{ln\vektor{\bruch{b+\bruch{d}{2}}{\bruch{d}{2}}}}\bruch{\kappa(z)}{\bruch{d}{2}}\vec{e}_{\varrho}.
[/mm]
Viele Grüße, Marcel
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Tut mir leid marcel , aber ich habe nicht so ganz verstanden welche formel du hier genau benutzt?
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> Tut mir leid marcel , aber ich habe nicht so ganz
> verstanden welche formel du hier genau benutzt?
Ich weiß leider nicht mehr so recht, wie ich dir weiterhelfen soll. Vielleicht hapert´s ja auch nur an den Begrifflichkeiten. Nachfolgend versuche ich dir mal etwas ausführlicher die Hintergründe zu erklären.
Schaue doch mal in deinen Vorlesungsunterlagen im Kapitel "Elektrostatik" nach. Dort findest du unter Garantie die folgenden Gleichungen
(1.1) [mm] \integral_{\partial{A}}^{}{\vec{E}*d\vec{s}}=0 [/mm] (Induktionsgesetz nach Faraday, wobei [mm] \bruch{d}{dt}=0 [/mm] gilt)
(2.1) [mm] \integral_{\partial{V}}^{}{\vec{D}*d\vec{A}}=\integral_{V}^{}{\varrho{dV}} [/mm] (Gauß´scher Satz der Elektrostatik)
oder in einer anderen Darstellung
(1.2) [mm] \oint{\vec{E}*d\vec{s}}=0
[/mm]
(2.2) [mm] \iint\vec{D}*d\vec{A}=\iiint\varrho{dV}
[/mm]
oder in differentieller Form
(1.3) [mm] rot\vec{E}=\vec{0}\gdw\vec{E}=-grad\Phi [/mm] (das elektrostatische Feld ist Wirbelfrei)
(2.3) [mm] div\vec{D}=\varrho [/mm] (die Quellen des elektrostatischen Feldes sind die Ladungen)
Weil das elektrostatische Feld wirbelfrei ist, kann es durch eine skalare Potentialfunktion dargestellt werden. Ebenso ist das magnetostatische Feld quellenfrei und kann deshalb durch ein sogenanntes Vektorpotential dargestellt werden:
(1.4) [mm] rot\vec{H}=\vec{J} [/mm] (Ursache des magnetostatischen Feldes sind die Ströme)
(2.4) [mm] div\vec{B}=0\gdw\vec{B}=rot{\vec{A}} [/mm] (Das magnetostatische Feld ist Quellenfrei)
Was besagen nun die Begriffe "Quellenfreiheit" und "Wirbelfreiheit"? Nun, Feldlinien des elektrostatischen Feldes besitzen immer eine Quelle und eine Senke. Dieses Charaketristikum erfüllen elektrische Ladungen, denn diese sind entweder positiv oder negativ geladen. Der Begriff der "Quellenfreiheit" meint das Nichtvorhandensein elektrischer Ladungen und bezieht sich daher auf den Feldbereich der Magnetostatik. Elektrische Ströme erzeugen ein Magnetfeld, dessen Linien in sich geschlossen sind; sie besitzen demnach keinen Anfang und kein Ende. Im stationären elektrischen Strömungsfeld ist es nun so, dass beide Feldbereiche, die "Elektrosatik" und die "Magnetostatik", in Kombination betrachtet werden. Die Felder sind allerdings nach wie vor zeit- bzw. frequenzunabhängig, sodass die diese noch nicht in Wechselwirkung zueinander treten und demnach weiterhin getrennt voneinander betrachtet werden dürfen.
Diese Ausführungen sind sicherlich lange nicht ausführlich genug, um dir die zugrunde liegenden Sachverhalte hinreichend vermitteln zu können. Du kommst nicht drum herum, dir das Wissen in vielen arbeitsintensiven Stunden am Schreibtisch selbstständig anzueignen.
Viele Grüße, Marcel
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