(Strikt) Konvex < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:23 Do 12.01.2012 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Bsp.: f(x) = |x|
Bestimme die Krümmung der Funktion. |
Hallo,
DIe Funktion ist ja bei x=0 nicht differenzierbar, ist das egal für die Krümmung des Graphen?
So kann ich aber nicht ableiten?
Mir ist klar, dass der Graph rechts von der y Achse die Steigung 1 hat und links von der y-achse die Steigung -1. Was ja die erste Ableitung darstellt. Aber eine konstante Funktion abgeleitet ist 0, so kann ich ja nicht sagen ob es größer 0 =>konvex oder kleiner 0 => konkav ist.
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:30 Fr 13.01.2012 | | Autor: | fred97 |
> Bsp.: f(x) = |x|
> Bestimme die Krümmung der Funktion.
> Hallo,
>
> DIe Funktion ist ja bei x=0 nicht differenzierbar, ist das
> egal für die Krümmung des Graphen?
> So kann ich aber nicht ableiten?
f ist in 0 nicht differenzierbar. Sei also [mm] x_0 \ne [/mm] 0.
Die Krümmung im Punkt [mm] \left(x_0,f(x_0)\right) [/mm] ist gegeben durch
[mm] \frac{f''(x_0)}{\left(1 + f'(x_0)^2\right)^{3/2}}
[/mm]
D.h.: in jedem Punkt [mm] \left(x_0,f(x_0)\right) [/mm] ist die Krümmumg =0
>
> Mir ist klar, dass der Graph rechts von der y Achse die
> Steigung 1 hat und links von der y-achse die Steigung -1.
> Was ja die erste Ableitung darstellt. Aber eine konstante
> Funktion abgeleitet ist 0, so kann ich ja nicht sagen ob
> es größer 0 =>konvex oder kleiner 0 => konkav ist.
>
f ist konvex ! Denn für alle x,y [mm] \in \IR [/mm] und jedes t [mm] \in [/mm] [0,1] gilt ( mit der Dreiecksungleichung):
$ f(tx+(1-t)y)=|tx+(1-t)y| [mm] \le [/mm] t|x|+(1-t)|y|=tf(x)+(1-t)f(y)$
FRED
>
> LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:43 Fr 13.01.2012 | | Autor: | sissile |
> Die Krümmung im Punkt [mm]\left(x_0,f(x_0)\right)[/mm] ist gegeben
> durch
>
> [mm]\frac{f''(x_0)}{\left(1 + f'(x_0)^2\right)^{3/2}}[/mm]
Woher kommt die Formel? DIe sagt mir grade gar nichts ;(
> D.h.: in jedem Punkt [mm]\left(x_0,f(x_0)\right)[/mm] ist die
> Krümmumg =0
Ja aber wenn die Krümmung =0 ist, kann es doch nicht konvex oder konkav seien?
> f ist konvex ! Denn für alle x,y [mm]\in \IR[/mm] und jedes t [mm]\in[/mm]
> [0,1] gilt ( mit der Dreiecksungleichung):
>
> [mm]f(tx+(1-t)y)=|tx+(1-t)y| \le t|x|+(1-t)|y|=tf(x)+(1-t)f(y)[/mm]
Das erste = ist mir nicht klar. Wie kannst du da die Funktion f weglassen?
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Hallo,
> > Die Krümmung im Punkt [mm]\left(x_0,f(x_0)\right)[/mm] ist gegeben
> > durch
> >
> > [mm]\frac{f''(x_0)}{\left(1 + f'(x_0)^2\right)^{3/2}}[/mm]
> Woher
> kommt die Formel? DIe sagt mir grade gar nichts ;(
War das nicht in der VL dran?
Dann schaue hier
http://de.wikipedia.org/wiki/Kr%C3%BCmmung
>
> > D.h.: in jedem Punkt [mm]\left(x_0,f(x_0)\right)[/mm] ist die
> > Krümmumg =0
> Ja aber wenn die Krümmung =0 ist, kann es doch nicht
> konvex oder konkav seien?
>
>
> > f ist konvex ! Denn für alle x,y [mm]\in \IR[/mm] und jedes t [mm]\in[/mm]
> > [0,1] gilt ( mit der Dreiecksungleichung):
> >
> > [mm]f(tx+(1-t)y)=|tx+(1-t)y| \le t|x|+(1-t)|y|=tf(x)+(1-t)f(y)[/mm]
>
> Das erste = ist mir nicht klar. Wie kannst du da die
> Funktion f weglassen?
Hat er nicht, du musst nur hingucken!
Au weia, es ist doch $f(x)=|x|$ oder nicht?
Dann ist $f(blablabla)=|blablabla|$
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:50 Fr 13.01.2012 | | Autor: | sissile |
> > > Die Krümmung im Punkt [mm]\left(x_0,f(x_0)\right)[/mm] ist gegeben
> > > durch
> > >
> > > [mm]\frac{f''(x_0)}{\left(1 + f'(x_0)^2\right)^{3/2}}[/mm]
> >
> Woher
> > kommt die Formel? DIe sagt mir grade gar nichts ;(
>
> War das nicht in der VL dran?
>
> Dann schaue hier
>
> http://de.wikipedia.org/wiki/Kr%C3%BCmmung
okay, danke
> > > D.h.: in jedem Punkt [mm]\left(x_0,f(x_0)\right)[/mm] ist die
> > > Krümmumg =0
> > Ja aber wenn die Krümmung =0 ist, kann es doch nicht
> > konvex oder konkav seien?
> >
> >
> > > f ist konvex ! Denn für alle x,y [mm]\in \IR[/mm] und jedes t [mm]\in[/mm]
> > > [0,1] gilt ( mit der Dreiecksungleichung):
> > >
> > > [mm]f(tx+(1-t)y)=|tx+(1-t)y| \le t|x|+(1-t)|y|=tf(x)+(1-t)f(y)[/mm]
>
> >
> > Das erste = ist mir nicht klar. Wie kannst du da die
> > Funktion f weglassen?
>
> Hat er nicht, du musst nur hingucken!
>
> Au weia, es ist doch [mm]f(x)=|x|[/mm] oder nicht?
>
> Dann ist [mm]f(blablabla)=|blablabla|[/mm]
Nein, dass ist mir schon klar^.
Ich hab mich wahrscheinlich falsch ausgedrückt.
tx+(1-t)y ist mir nicht klar. Das ARgument, wie man darauf kommt.
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Hallo nochmal,
> Ich hab mich wahrscheinlich falsch ausgedrückt.
> tx+(1-t)y ist mir nicht klar. Das ARgument, wie man darauf
> kommt.
Mensch Meier, du willst auf "konvex/konkav" prüfen, da bietet es sich doch an, mal die Definitionen dieser Eigenschaften nachzuschauen.
Wann heißt eien Funktion konvex?
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:00 Fr 13.01.2012 | | Autor: | sissile |
okay, werd nochmals schauen,
lg
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