Streifemethode des Archimides ( Flächenberechnung ) < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:32 Di 17.08.2004 | | Autor: | h0ney |
Hallo!
Und zwar versteh ich gar nichts mehr und komme einfach nicht weiter, fängt schon damit an das ich nicht weiß wie ich das ganze zeichnen soll :(
falls antworten kommen schon mal vielen vielen dank.
Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt
Aufgabe :
Schätzen sie den Inhalt der Fläche A ab, die von der Funktion f un der x-Achse über dem Intervall [0;1] eingeschlossen wird. Bestimmen Sie dazu heweils näherungsweise die Untersumemn U2,U3,U4,U8,U16 sowie die zugehörgen Obersummen O2,O3,O4,O8,O16.
f(x) = x² + 1
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:02 Di 17.08.2004 | | Autor: | Hanno |
Hi h0ney!
Nicht verzagen, wir kriegen das schon hin ;)
Mach dir zuerst einmal klar, um welche Funktion es sich handelt. Du weißt vielleicht noch, dass die Funktion [mm]f(x)=x^2[/mm] eine Parabel ist:
[img]http://www.apollon.uio.no/2000_english/pictures/parabel.gif[/url]
Und was bewirkt das +1? Eine Y-Verschiebung nach oben. Warum? Weil zu jedem Y-Wert, der durch [mm]f(x)=x^2[/mm] die Eins addiert wird, d.h. jeder Funktionswert um eins nach oben rutscht, was sich auf den gesamten Graphen überträgt.
So, nun zur Aufgabe:
Du sollst die Unter- und Obersumme bestimmen. Sagen dir die Begriffe etwas?
[Externes Bild http://www.dom-gymnasium.de/mathpage/themen/numintegr/ArchimUnter.jpg]
Wir können uns das Leben erleichtern, indem wir den Flächeninhalt der Parabel [mm]f(x)=x^2[/mm] errechnen und am Ende das Rechteck addieren, welches durch das [mm]+1[/mm] in der Funktionsvorschrift entsteht. Du kannst es dir vorstlelen, als stünde die Parabel auf einem Kasten der Höhe 1. Der Kasten gehört mit zur Fläche unterhalb der Kurve, doch können wir ihn leicht berechnen, wir konzentrieren uns also erstmal auf die Funktion [mm]f(x)=x^2[/mm].
So, ich rechne mal ein Beispiel für n=4, wobei ich mit n immer die Anzahl der Rechtecke bezeichne:
Die Breite der Rechtecke ist konstant. Alle vier Rechtecke haben zusammen die Breite von 1, daher hat jedes Rechteck die Breite [mm]\frac{1}{4}[/mm].
Noch ein Begriff: Unter einer Stützstelle verstehe ich die Punkte, an denen ein "altes" Rechteck endet und ein neues Beginnt. Zudem sind Stützstellen auch noch ganz links (in unserem Falle bei 0) und ganz rechts (in unserem Falle bei 1)
Beginnen wir bei dem ersten Rechteck der Obersumme. Dafür müssen wir nun die vier Rechtecke berechnen. Das erste Rechteck hat die Höhe [mm]f(\frac{1}{4})=\frac{1}{16}[/mm]. Warum? Da ich mir die zweite Stützstelle schnappe und sie in die Funktionsgleichung einsetze, womit ich den Funktionswert an diesem Punkt erhalte. Das Rechteck hat daher (nach Fläche=Breite*Höhe) die Fläche [mm]A_{1}=\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{16}=1\cdot\frac{1}{4^3}[/mm].
Gehen wir nun zum nächsten Rechteck über, so verwenden wir die Stützstelle 3, am Punkt [mm]x=\frac{2}{4}[/mm]. Die Höhe ist daher [mm](\frac{2}{4})^2=\frac{4}{16}[/mm] und die Fläche [mm]A_2=4\cdot\frac{1}{4^3}[/mm].
Das führst du nun für das dritte und das vierte Rechteck fort - das überlasse ich dir.
Wenn du soweit bist, dann entwickeln wir noch schnell die allgemeine Formel für eine beliebige Anzahl an Stützstellen und wir sind durch!
Gruß,
Hanno
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:40 Di 24.08.2004 | | Autor: | pupa |
Hallo,
könnten sie mir evtl die allgemeine Formel zur Berechnung der Ober- bzw. Untersumme sagen?
Vielen Dank!!
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