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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:06 Fr 18.09.2015 | | Autor: | Fry |
| Aufgabe | <br>
Seien [mm](X_n)_{n\in\mathbb N}[/mm] eine Folge diskreter Zufallsvariablen mit Werten in einem endlichen Raum V und [mm]F_n=\sigma(X_1,...,X_n)[/mm] für [mm]n\in\mathbb N[/mm]. Zeigen Sie, dass jede [mm](F_n)[/mm]-Stoppzeit [mm]T:\Omega\to\mathbb N\cup\{\infty\}[/mm] von der Form [mm]T=\inf\{n\in\mathbb N:
(X_1,...,X_n)\in A_n\}[/mm] ist, wobei [mm]A_n\subset V^n[/mm] für alle [mm]n\in\mathbb N[/mm] geeignet zu wählen ist.
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Hallo zusammen,
mein Ansatz zu der Aufgabe ist, dass [mm]\{T\le n\}\in F_n[/mm] Da [mm] $F_n=\sigma(X_1,..,X_n)$ [/mm] ist, existiert eine Menge [mm]A_n\subset V^n[/mm] mit [mm]\{T\le n\}=\{(X_1,...,X_n)\in A_n\}[/mm]. Warum folgt aber daraus jetzt die Behauptung?
Viele Grüße
Christian
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:06 Fr 18.09.2015 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Fry!
> Seien [mm](X_n)_{n\in\mathbb N}[/mm] eine Folge diskreter
> Zufallsvariablen mit Werten in einem endlichen Raum V und
> [mm]F_n=\sigma(X_1,...,X_n)[/mm] für [mm]n\in\mathbb N[/mm]. Zeigen Sie,
> dass jede [mm](F_n)[/mm]-Stoppzeit [mm]T:\Omega\to\mathbb N\cup\{\infty\}[/mm]
> von der Form [mm]T=\inf\{n\in\mathbb N:
(X_1,...,X_n)\in A_n\}[/mm]
> ist, wobei [mm]A_n\subset V^n[/mm] für alle [mm]n\in\mathbb N[/mm]
> geeignet zu wählen ist.
Die Endlichkeit von V benötigt man hier übrigens nirgendwo.
[mm] $\inf\{n\in\mathbb N: (X_1,...,X_n)\in A_n\}$ [/mm] ist eine abkürzende Schreibweise für die Abbildung
[mm] $T'\colon\Omega\to\IN\cup\{\infty\},\quad T'(\omega):=\inf\{n\in\IN\;|\;(X_1(\omega),\ldots,X_n(\omega))\in A_n\}$.
[/mm]
> mein Ansatz zu der Aufgabe ist, dass [mm]\{T\le n\}\in F_n[/mm] Da
> [mm]F_n=\sigma(X_1,..,X_n)[/mm] ist, existiert eine Menge [mm]A_n\subset V^n[/mm]
> mit [mm]\{T\le n\}=\{(X_1,...,X_n)\in A_n\}[/mm].
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Warum folgt aber
> daraus jetzt die Behauptung?
Zu zeigen ist [mm] $T(\omega)=T'(\omega)$ [/mm] für alle [mm] $\omega\in\Omega$.
[/mm]
Der entscheidende Kniff lautet nun: Mache dir
[mm] $T(\omega)=\inf\{n\in\IN\;|\;n\ge T(\omega)\}$
[/mm]
klar.
Es bleibt damit nur noch
[mm] $\{n\in\IN\;|\;n\ge T(\omega)\}=\{n\in\IN\;|\;(X_1(\omega),\ldots,X_n(\omega))\in A_n\}$
[/mm]
zu überlegen.
Viele Grüße
Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:57 Fr 18.09.2015 | | Autor: | Fry |
Hey Tobias,
jetzt hat es "Klick" gemacht!
Danke schön! :)
Viele Grüße
Fry
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