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Stoppzeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:24 Fr 28.02.2014
Autor: hula

Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

Hallo Forum

Sei $X$ ein stetiger Prozess und wir definieren für $K\in\mathbb{R}$ und $T(\omega):=\inf\{t\in\mathbb{R}_+|X_t(\omega) \ge K\}$. Nun will ich folgendes zeigen.

$$\{\omega:T(\omega)\le t\}=\cap_{n\ge 1}\cup_{s\in [0,t]\cap \mathbb{Q}}\{\omega:X_s(\omega)\ge K-\frac{1}{n}}\}$$

Dazu zeige ich zwei Inklusionen: Sei zuerst $\omega\in \{T\le t}\$. Ich muss zeigen: Für jedes $n\in\mathbb{N}$ existier ein $s\in [0,t]\cap \mathbb{Q}$ so dass $X_s(\omega)\ge K-\frac{1}{n}$. Sei also $n\in\mathbb{N}$ fixiert. Ich wähle eine Folge von rationalen Zahlen $(q_m)$ so dass $q_m\to T(\omega)\le t$. O.B.d.A $q_m\le t$. Da $X$ stetig ist habe ich $\lim_mX_{q_m}(\omega)=X_{T(\omega)}(\omega)$. Daher existiert ein $M$ so dass für alle $m\ge M$ folgendes gilt: $|X_{q_m}(\omega)-X_{T(\omega)}(\omega)|\le \frac{1}{n}$, i.e. $X_{q_m}(\omega)\ge X_{T(\omega)}(\omega)-\frac{1}{n}\ge K-\frac{1}{n}$.

Leider weiss ich nicht wie ich die andere Richtung zeigen soll. Ich weiss ja nach Annahme, dass für jedes $n$ existiert ein $s\in[0,t]\cap\mathbb{Q}$ so dass $X_s(\omega)\ge K-\frac{1}{n}$. Wie kann ich denn nun zeigen, dass $T(\omega)\le t$ gilt?

        
Bezug
Stoppzeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:05 Fr 28.02.2014
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

sieht soweit alles gut aus, die Rückrichtung ist auch gar nicht so schwer.

> Ich weiss ja nach Annahme, dass für jedes [mm]n[/mm] existiert ein [mm]s\in[0,t]\cap\mathbb{Q}[/mm] so dass [mm]X_s(\omega)\ge K-\frac{1}{n}[/mm].

[ok]


1.) Nennen wir das zu jedem n existieren s mal [mm] $s_n$ [/mm] und wir erhalten eine Folge [mm] $(s_n) \in [/mm] [0,t]$.
Was weißt du über Folgen in kompakten Inverallen?

Weiterhin gilt ja:

2.) [mm] $X_{s_n}(\omega) \ge [/mm] K - [mm] \bruch{1}{n}$ [/mm]

Wende nun auf beiden Seiten den Grenzwert an und folgere daraus das Gewünschte.

Gruß,
Gono.

Bezug
                
Bezug
Stoppzeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:20 Fr 28.02.2014
Autor: hula

Hallo Gono

Danke für deine Hilfe. Ich glaube ich habs nun. Kannst du mir sagen ob dies so stimmt:

Wir haben also diese Folge [mm] $(s_n)\subset [/mm] [0,t]$. Nun können wir eine konvergente Teilfolge wählen, die wir wieder mit [mm] $(s_n)$ [/mm] bezeichnen, d.h. [mm] $s_n\to [/mm] s$ wobei [mm] $0\le s\le [/mm] t$ gilt und [mm] $X_{s_n}\ge K-\frac{1}{n}$. [/mm] Aufgrund der Stetigkeit haben wir nun also

$$ [mm] X_s=\lim_n X_{s_n}\ge \lim_n K-\frac{1}{n}=K$$ [/mm]
d.h. [mm] $T(\omega)\le s\le [/mm] t$.

Ist das so ok?

Gruss

Bezug
                        
Bezug
Stoppzeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:56 Fr 28.02.2014
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Ist das so ok?

inhaltlich ja, beim Aufschreiben solltest du allerdings das Bezeichnungskuddelmuddel bereinigen.

Gruß,
Gono.

Bezug
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