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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:58 So 07.03.2010 | | Autor: | pavelle |
Hallo zusammen,
ich habe folgende DGL:
[mm] y^{''}+y^{'}-2y=2*e^{4x}
[/mm]
dabei ist g(x) = [mm] 2*e^{4x} [/mm] die Störfunkton.
Nun wird im Papula folgender Lösungsansatz gewählt: [mm] y_p(x)=A*e^{4x} [/mm] mit der Begründung: c=4 ist KEINE Lösung der charakterischen Gleichung. Wäre c eine Lösung so gilt: [mm] y_p(x)=Ax*e^{4x}
[/mm]
Nur was heißt das jetzt und wie kann ich das erkennen oder berechnen?
Die charakteristische Gleichung heißt: [mm] \lambda^{2}+\lambda-2= [/mm] ??
Vielen Dank
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> Hallo zusammen,
> ich habe folgende DGL:
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> [mm]y^{''}+y^{'}-2y=2*e^{4x}[/mm]
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> dabei ist g(x) = [mm]2*e^{4x}[/mm] die Störfunkton.
>
> Nun wird im Papula folgender Lösungsansatz gewählt:
> [mm]y_p(x)=A*e^{4x}[/mm] mit der Begründung: c=4 ist KEINE Lösung
> der charakterischen Gleichung. Wäre c eine Lösung so
> gilt: [mm]y_p(x)=Ax*e^{4x}[/mm]
> Nur was heißt das jetzt und wie kann ich das erkennen
> oder berechnen?
> Die charakteristische Gleichung heißt:
> [mm]\lambda^{2}+\lambda-2=[/mm] ??
>
> Vielen Dank
>
Hallo pavelle,
als erstes solltest du die lösungen des charakt.Polynoms bestimmen!
[mm] \lambda_{12} [/mm] =... [mm] \Rightarrow [/mm] homogene Lösung
Wenn der Exponent in der Störfunktion auch in deiner homogenen Lösung vorkommt (einfache Lösung) dann nimmt man den zweiten Ansatz, da der erste nicht zum Ziel führt (man nennt das glaube ich auch Resonanz)
ist der Exponent doppelte Lösung dann [mm] y_{p} [/mm] = [mm] Ax^2e^{4x}
[/mm]
Gruss Christian
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:21 So 07.03.2010 | | Autor: | pavelle |
Hallo Christian, die homogene Lösung lautet:
[mm] \lambda_{1}=1
[/mm]
[mm] \lambda_{2}=-2
[/mm]
[mm] y_{1}=e^{x}
[/mm]
[mm] y_{2}=e^{-2x}
[/mm]
[mm] y_h{}(x)=C_{1}*e^{x}+C_{2}*e^{-2x}
[/mm]
In wie weit ich jetzt die Exponenten mit der Störfunktion vergleichen kann, habe ich aber nicht verstanden.
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> Hallo Christian, die homogene Lösung lautet:
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> [mm]\lambda_{1}=1[/mm]
> [mm]\lambda_{2}=-2[/mm]
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> [mm]y_{1}=e^{x}[/mm]
> [mm]y_{2}=e^{-2x}[/mm]
>
> [mm]y_h{}(x)=C_{1}*e^{x}+C_{2}*e^{-2x}[/mm]
>
> In wie weit ich jetzt die Exponenten mit der Störfunktion
> vergleichen kann, habe ich aber nicht verstanden.
>
Ist doch ganz einfach: Exponent 1: 1; Exponent 2: -2; Exponent Störfunktion: 4 der Exponent der Störfunktion kommt in deiner homogenen lösung nicht vor [mm] \Rightarrow y_{p} [/mm] = [mm] A*e^{4x}
[/mm]
Der Resonanzfall würde ja nur auftreten, wenn [mm] \lambda_{1} [/mm] und/oder [mm] \lambda_{2} [/mm] = 4 wäre!
Also sozusagen ein Exponentenvergleich 
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:30 So 07.03.2010 | | Autor: | pavelle |
Ich habs verstanden. Oh man, manchmal brauch ich etwas länger bis es klick macht 
Danke dir, dieses Forum ist ein Segen für mich
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