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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:47 Mo 09.01.2012 | | Autor: | physicus |
Hallo zusammen
Ich würde gerne folgendes stochastisches Integral berechnen, das geht ja nur über Itô aber leider tue ich mich damit ein bisschen schwer. Wie berechnet man den folgendes Integral:
$$ [mm] \int_0^T dW_s [/mm] $$
wobei $ [mm] (W_s)$ [/mm] eine brownsche Bewegung ist. Anschaulich ist ja klar, dass etwa das herauskommen sollte:
$$ [mm] \int_0^T dW_s =W_T [/mm] $$
Wie wende ich den hier richtig Itô an?
Danke und Gruss
physicus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:17 Mi 11.01.2012 | | Autor: | cetin |
Hallo,
du kannst folgende Überlegung machen:
Der Integrand f ist eine einfache (bzw elementare) Funktion und zwar
[mm] f(t,\omega)= Ind_{[0,T]}(t).
[/mm]
Ind bezeichnet den Indikator.
Für einfache Funktionen gibt es eine explizite Definition des Itô Integrals. Diese solltest du kennen. Wenn du die Formel verwendest kommt heraus:
[mm] \integral_{0}^{T}{f(t,\omega) dW_{t}(\omega)} [/mm] = [mm] W_{T}(\omega)- W_{0}(\omega) [/mm] = [mm] W_{T}(\omega).
[/mm]
für fast alle [mm] \omega \in \Omega,
[/mm]
oder kürzer geschrieben:
[mm] \integral_{0}^{T}{f(t) dW_{t}} [/mm] = [mm] W_{T} [/mm] fast sicher.
Was du mit "Itô anwenden" genau meinst, weiß ich nicht. Solltest du die Itô-Formel meinen, dann hat es keinen Sinn sie hier zu verwenden.
Ich hoffe, dass ich dir helfen konnte, wenn nicht sag Bescheid.
Gruß
Cetin
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