Stochastische Unabhängigkeit < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:09 Do 08.09.2005 | | Autor: | tux_03 |
Hallo,
ich schon wieder 
Also: Dieses Mal habe ich eine Frage bezogen auf die Stochastische Unabhängigkeit zweier ZVen.
Ich habe die Formel:
[mm]P_X=P_{X_1} \otimes \ldots \otimes P_{X_n}[/mm]
Wobei [mm] X=\left(X_1,\ldots X_n\right)[/mm] ist
Nun gibt es ja für Ereignisse die Formel [mm]P\left( A \cap B \right)=P\left(A\right) *\left(B\right)[/mm].
Da kann kann ich mir vorstellen, dass einfach die Schnittmenge der beiden Ereignisse (linke Seite) genommen wird, Wahrscheinlichkeit ausgerechnet wird und dann mit dem Produktmaß(rechte seite) verglichen wird. Wenn beide Seiten gleich sind, dann sind A u. B Stochastisch unabhängig. Kann mir jemand erklären, wie das dann mit den Zufallsvariablen (linke Seite, obige Formel) funktioniert (am besten mit einem kleinen Beispiel - wäre nett) . Die rechte Seite erscheint mir klar. (Es sollten sich ja immer für die linke Seite irgendwie Zahlenpaare ergeben, die zu "schneiden" sind? Oder? Das soll dann irgendwie die gemeinsame Verteilung von aller ZVen von X sein. Oder?).
Ciao tux_03
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:54 Do 08.09.2005 | | Autor: | djmatey |
Hallo,
also das auf der rechten Seite der Gleichung ist das Produkt zweier Maße, kein Produktmaß. Dieser Begriff ist für [mm] \otimes [/mm] festgelegt. Z.B. ist für Maße [mm] P_{1}, [/mm] ... , [mm] P_{n} [/mm] das Produktmaß [mm] \otimes P_{i}. [/mm] Da gehört dann eigentlich noch i=1 bis n dran wie bei einer Summe - keine Ahnung, wie man das hier darstellt...
Die stochastische Unabhängigkeit von Zufallsgrößen [mm] X_{i} [/mm] ist dann äquivalent damit, dass
[mm] P^{(X_{1}, ... , X_{n})} [/mm] = [mm] \otimes P^{X_{i}}, [/mm]
d.h. die gemeinsame Verteilung der [mm] X_{i} [/mm] ist gleich dem Produktmaß. Es gibt noch einige weitere Äquivalenzen dazu, z.B. dass dann die Dichte der gemeinsamen Verteilung gleich dem Produkt der einzelnen Dichten ist.
Ein sehr gutes Buch u.a. dafür ist
Norbert Schmitz - Vorlesungen über Wahrscheinlichkeitstheorie (Teubner Verlag)
Kann ich echt empfehlen!
Ein Beispiel zu dem Ganzen:
Betrachte Zufallsgrößen [mm] X_{1}, [/mm] ... , [mm] X_{n}, [/mm] die B(1,p)-verteilt und st.u. sind.
Genau dann gilt für X = [mm] (X_{1}, [/mm] ... , [mm] X_{n}) [/mm]
[mm] P^{X} [/mm] = [mm] \otimes P^{X_{i}} [/mm] = [mm] \otimes [/mm] B(1,p)
und weiterhin für [mm] x_{i}=1 [/mm] oder [mm] x_{i}=0
[/mm]
[mm] f^{X}(x_{1}, [/mm] ... , [mm] x_{n}) [/mm] = [mm] \produkt_{i=1}^{n} p^{x_{i}} (1-p)^{1-x_{i}} [/mm] = [mm] p^{\summe_{i=1}^{n}x_{i}} [/mm] * [mm] (1-p)^{n-\summe_{i=1}^{n}x_{i}}
[/mm]
Hoffe, das hat Dir geholfen!
Beste Grüße,
djmatey
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:35 Fr 09.09.2005 | | Autor: | tux_03 |
Hallo, djmatey,
> Betrachte Zufallsgrößen [mm]X_{1},[/mm] ... , [mm]X_{n},[/mm] die
> B(1,p)-verteilt und st.u. sind.
> Genau dann gilt für X = [mm](X_{1},[/mm] ... , [mm]X_{n})[/mm]
> [mm]P^{X}[/mm] = [mm]\otimes P^{X_{i}}[/mm] = [mm]\otimes[/mm] B(1,p)
> und weiterhin für [mm]x_{i}=1[/mm] oder [mm]x_{i}=0[/mm]
> [mm]f^{X}(x_{1},[/mm] ... , [mm]x_{n})[/mm] = [mm]\produkt_{i=1}^{n} p^{x_{i}} (1-p)^{1-x_{i}}[/mm]
> = [mm]p^{\summe_{i=1}^{n}x_{i}}[/mm] *
> [mm](1-p)^{n-\summe_{i=1}^{n}x_{i}}[/mm]
Das muss man dann aber für alle Paare X,Y durchführen. Wenns bei einem nicht stimmt, dann ists aus mit der Unabhängigkeit oder?
> Hoffe, das hat Dir geholfen!
Hast du schon!
Ciao tux_03
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:50 Fr 09.09.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Wieso redest du hier plötzlich von Paaren?
Noch einmal zur Verdeutlichung:
Es seien [mm] $X_1,\ldots,X_n$ [/mm] Zufallsvariablen mit
[mm] $X_i [/mm] : [mm] (\Omega,{\cal A},P) \to (\Omega_i,{\cal A}_i)$
[/mm]
für $i [mm] \in \{1,2,\ldots,n\}$.
[/mm]
Dann heißen [mm] $X_1,\ldots,X_n$ [/mm] stochastisch unabhängig, wenn
(*) [mm] $P_{X_1 \otimes \ldots \otimes X_n} \left( \prod\limits_{i=1}^n A_i \right)= P(X_1 \in A_1,\ldots,X_n \in A_n) [/mm] = [mm] P(X_1 \in A_1) \cdot \ldots \cdot P(X_n \in A_n) [/mm] = [mm] \prod\limits_{i=1}^n P_{X_i}(A_i) [/mm] = [mm] \left( \bigotimes\limits_{i=1}^n P_{X_i} \right) \left( \prod\limits_{i=1}^n A_i \right)$
[/mm]
gilt, und zwar für alle möglichen Wahlen von [mm] $A_i \in {\cal A}_i$, $i=1,\ldots,n$.
[/mm]
Sobald es auch nur ein $n$-Tupel [mm] $(A_1,\ldots,A_n)$ [/mm] mit Mengen [mm] $A_i \in {\cal A}_i$ [/mm] gibt, so dass (*) nicht erfüllt ist, sind [mm] $X_1,\ldots,X_n$ [/mm] stochastisch abhängig.
Liebe Grüße
Julius
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