Stochastische Matrix < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:03 Do 16.02.2012 | | Autor: | Fry |
Hallo zusammen,
stelle mir folgende Frage in der Stochastik behandelt man stochastische Matrizen d.h. solche (nxn)-Matrizen, für die Zeilensumme jeweils =1 und die Einträge stets nichtnegativ sind.
Man nennt nun einen Zeilenvektor [mm] $\pi^T=(\pi_1,...,\pi_n)^T$ [/mm] (mit [mm] \sum_{i=1}^n \pi_i=1$) [/mm] stationäre Verteilung für die stochastische Matrix A, wenn [mm] $\pi^T*A=\pi^T$, [/mm] also wenn [mm] $\pi^T$ [/mm] ein linker Eigenvektor von A zum Eigenwert 1 ist.
Jetzt frage ich mich, ob IMMER zu einer stoch. Matrix A eine stationäre Verteilung existiert. Weißt da jemand Bescheid?
LG
Fry
PS: Satz von Perron-Frobenius liefert nur die Existenz für bestimmte stochastische Matrizen, oder? (also primitive Matrizen...)
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Hallo Fry,
hatte deine andere Frage auch gesehen, kam nur nicht dazu, sie zu beantworten. Daher kurz nachgeholt: Deine Matrizzen waren allesamt gute Beispiele für die von dir gewollten Dinge 
Zu deiner Frage hier im Detail:
Ja, so eine stationäre Verteilung gibt es immer, es gilt nämlich:
[mm] $A*\vektor{1 \\ \vdots \\ 1} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ \vdots \\ 1}$, [/mm] d.h. es gibt einen rechten Eigenvektor zum Eigenwert 1.
Daraus folgt, dass es dann auch einen linken Eigenvektor zum Eigenwert 1 geben muss, d.h:
[mm] $\exists\,x: \quad [/mm] x*A = x$
was dir deine Existenz sofort liefert.
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:22 Do 16.02.2012 | | Autor: | Fry |
Hey Gono,
vielen Dank! :)
Schön zu hören, dass die MKen passen.
Könntest du mir noch erklären,warum dann auch ein Linkseigenvektor existiert( auch wenns trivial vielleicht ist :)) [Sehe jetzt nur, dass (1,...,1) ein Linkseigenvektor von [mm] A^T [/mm] ist]
LG
Fry
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Hiho,
> Könntest du mir noch erklären,warum dann auch ein
> Linkseigenvektor existiert( auch wenns trivial vielleicht
> ist :)) [Sehe jetzt nur, dass (1,...,1) ein
> Linkseigenvektor von [mm]A^T[/mm] ist]
Jap. Also: 1 ist Rechts-EW zu A, damit ist 1 auch Rechts-EW zu [mm] A^T [/mm] (siehe ![[]](/images/popup.gif) Eigenschaften von Eigenwerten), d.h. es existiert ein Vektor x, so dass [mm] $A^T*x [/mm] = x$
Transponieren liefert dir nun das Gewünschte.
Da fällt mir nur noch ein weiteres Problem auf: Dass es nun ein EV mit [mm] $\summe x_i [/mm] = 1$ gibt, lässt sich daraus problemfrei schildern.
Ein [mm] $x_i \ge [/mm] 0$ jedoch nicht unbedingt.....
MFG,
Gono.
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 00:50 Fr 17.02.2012 | | Autor: | Fry |
Vielen Dank!
Mmmm....weiß jemand, warum dann die Einträge des [mm] Eigenvektors$\ge [/mm] 0$ ?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:20 Sa 03.03.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:28 Mi 22.02.2012 | | Autor: | felixf |
Moin,
> stelle mir folgende Frage in der Stochastik behandelt man
> stochastische Matrizen d.h. solche (nxn)-Matrizen, für die
> Zeilensumme jeweils =1 und die Einträge stets nichtnegativ
> sind.
> Man nennt nun einen Zeilenvektor
> [mm]$\pi^T=(\pi_1,...,\pi_n)^T$[/mm] (mit [mm]\sum_{i=1}^n \pi_i=1$)[/mm]
> stationäre Verteilung für die stochastische Matrix A,
> wenn [mm]$\pi^T*A=\pi^T$,[/mm] also wenn [mm]$\pi^T$[/mm] ein linker
> Eigenvektor von A zum Eigenwert 1 ist.
>
> Jetzt frage ich mich, ob IMMER zu einer stoch. Matrix A
> eine stationäre Verteilung existiert. Weißt da jemand
> Bescheid?
>
> PS: Satz von Perron-Frobenius liefert nur die Existenz für
> bestimmte stochastische Matrizen, oder? (also primitive
> Matrizen...)
moeglicherweise geht das schon mit dem Satz. Schau dir doch mal die englische Wikipedia-Seite genauer an, insbesondere die Teile bei denen es um nicht-negative Matrizen geht und auch die Anwendungen.,
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:23 Fr 24.02.2012 | | Autor: | Fry |
Merci ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") , Felix.
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