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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 00:34 Do 29.04.2004 | | Autor: | phymastudi |
Eine letzte Aufgabe bereitet mir noch Kopfzerbrechen. Wahrscheinlich ist die Lösung zu trivial, aber mir brummt der Kopf:
Sei X die Zählvariable aller Ereignisse eines Grundraumes mit n Ergebnissen. Für welche kN ist {X=k}ungleich die leere menge????
Vielen Dank für die Hilfen.
Gruß Björn
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:42 Do 29.04.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Björn!
> Eine letzte Aufgabe bereitet mir noch Kopfzerbrechen.
> Wahrscheinlich ist die Lösung zu trivial, aber mir brummt
> der Kopf:
>
> Sei X die Zählvariable aller Ereignisse eines Grundraumes
> mit n Ergebnissen. Für welche kN ist {X=k}ungleich die
> leere menge????
Was ist denn eine Zählvariable? Zählt die in diesem Fall, wieviel Ereignisse es in einem Grundraum mit n Ergebnissen gibt?
Trotzdem verstehe ich die Frage nicht so ganz, vielleicht findest du ja noch eine Definition von "Zählvariable".
--Marc
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 20:26 Do 29.04.2004 | | Autor: | phymastudi |
Hallo Marc.
Laut Definition ist eine Zählvariable:
Sind G ein Grundraum und [mm] A_1,A_2,...,A_n [/mm] Ereignisse, so ist es in vielen Fällen von Bedeutung, wie viele Ereignisse [mm] A_1,A_2,....,A_n [/mm] eintreten.
Diese Informationen liefert die Indikatorsumme X:= 1 { [mm] A_1 [/mm] } + 1 { [mm] A_2 [/mm] } + ... + 1 { [mm] A_n [/mm] } (1)
Werten wir nämlich die rechte Seite von (1) als Abbildung auf G an der Stelle g aus, so ist der j-te Summand gleich 1, wenn g zu [mm] A_j [/mm] gehört, also das Ergebnis [mm] A_j [/mm] eintritt (bzw. gleich 0, wenn g nicht zu [mm] A_j [/mm] gehört). Die in (1) definierte Zufallsvariable X beschreibt somit die Anzahl der eintretenden Ereignisse unter [mm] A_1,A_2,....,A_n.
[/mm]
Das Ereignis {X=k} tritt dann und nur dann ein, wenn genau k der n Ereignisse [mm] A_1,A_2,...,A_n [/mm] eintreten. Die dabei überhaupt möglichen Werte für k sind 0,1,2,....,n, d.h. es gilt X(G) ist Teilmenge {0,1,2,....,n}. Speziell gilt {X=0}= [mm] A_1(komplementär) [/mm] geschnitten [mm] A_2(komplementär) [/mm] geschnitten...geschnitten [mm] A_n(komplementär), [/mm] {X=n}= [mm] a_1 [/mm] geschnitten [mm] A_2 [/mm] geschnitten... geschnitten [mm] A_n.
[/mm]
Weiter beschreiben {X kleinergleich k}={g Element G: X(g) kleinergleich k} und {X größergleich k}= { g Elöement G: X(g) größergleich k} die Ereignisse, dass höchstens k bzw. mindestens k der [mm] A_j [/mm] eintreten.
Da eine Zufallsvarbialbe der Gestalt (1) die eintretenden [mm] A_j [/mm] (j=1,2,3,...,n) zählt, nennen wir Indikatorensummen im Folgenden auch Zählvariablen.
Hilft dir das?? Ich hab echt Probleme. Wär echt super, wenn du mir helfen kannst!!
Nochmal die Aufgabe:
Sei X die Zählvariable aller Ereignisse eines Grundraums mit n Ergebnissen. Für welche k Element der natürlichen Zahlen ist { X=k} ungleich leere Menge {}.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:01 Do 29.04.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Björn,
> Laut Definition ist eine Zählvariable:
> Sind G ein Grundraum und [mm] A_1,A_2,...,A_n [/mm] Ereignisse, so
> ist es in vielen Fällen von Bedeutung, wie viele Ereignisse
> [mm] A_1,A_2,....,A_n [/mm] eintreten.
>
> Diese Informationen liefert die Indikatorsumme X:= 1 { [mm] A_1 [/mm]
> } + 1 { [mm] A_2 [/mm] } + ... + 1 { [mm] A_n [/mm] } (1)
Alles klar, jetzt verstehe die Aufgabe und auch, was eine Zählvariable ist.
Ist dir die Definition auch klar?
> Sei X die Zählvariable aller Ereignisse eines Grundraums
> mit n Ergebnissen. Für welche k Element der natürlichen
> Zahlen ist { X=k} ungleich leere Menge {}.
Zunächst einmal sollte man sich klar machen, welche Art Element in der Menge {X=k} überhaupt sind.
Das sind die (der insgesamt n) Ergebnisse, die in genau k Ereignissen vorkommen.
(Ein Ereignis ist ja einfach eine Menge von Ergebnissen.)
Ein bisschen formaler: [mm] $\{X=k\}=\{g\in G\;\;|\;\;X=k\}=\{g\in G\;\;|\;\;1_{A_1}+\ldots+1_{A_m}=k\}$
[/mm]
Bestimme doch erst mal die Anzahl der Ereignisse, von denen hier die Rede ist.
In der Aufgabe steht: "aller Ereignisse des Grundraumes". Weißt du, wie viele Ereignisse das sind?
Mathematisch ist das ja einfach die Anzahl der Teilmengen einer Menge $G$ mit $n$ Elementen, das sind [mm] 2^n [/mm] Stück (das ist die Mächtigkeit der Potenzmenge [mm] $\cal{P}\mathtt{(G)}$, [/mm] und dürfte bekannt sein).
Damit haben wir also [mm] 2^n [/mm] Ereignisse, nämlich [mm] $A_1,\ldots,A_{2^n}$.
[/mm]
Jetzt überlege dir mal, in wie vielen Mengen von [mm] $A_1,\ldots,A_{2^n}$ [/mm] ein beliebiges Element $g$ enthalten ist. Man kommt schnell dahinter, wenn man sich den Induktionsbeweis für [mm] $|\cal{P}\mathrm{(G)}|$$=2^n$ [/mm] ansieht...
Wenn du das rausgefunden hast, kannst du auch beantworten, wie das $k$ gewählt sein muß, damit [mm] $\{X=k\}\not=\emptyset$. [/mm]
Übrigens: Falls es ein [mm] $g\in \{X=k\}$ [/mm] gibt, dann gilt sofort [mm] $\{X=k\}=G$ ($\{X=k\}$ [/mm] besteht aus allen Ergebnissen des Grundraumes).
Bei Unklarheiten weiß ich ja, dass du wieder nachfragst 
Viel Erfolg,
Marc
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Hi Marc!
Zunächst erstmal vielen herzlichen Dank für deine ganze Mühe. Ich bin dir wirklich super dankbar. Klasse. Ich hab viel nun doch verstanden, aber leider nicht, trotz deiner Hilfen diese Aufgabe. Wahrscheinlich bin ich einfach zu dämlich und habe ein Brett vor dem Kopf. Naja, aber dennoch vielein herzlichen Dank!!!
Liebe Grüße von Björn
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:10 Do 29.04.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Björn,
> Zunächst erstmal vielen herzlichen Dank für deine ganze
> Mühe. Ich bin dir wirklich super dankbar. Klasse. Ich hab
> viel nun doch verstanden, aber leider nicht, trotz deiner
> Hilfen diese Aufgabe. Wahrscheinlich bin ich einfach zu
> dämlich und habe ein Brett vor dem Kopf. Naja, aber dennoch
> vielein herzlichen Dank!!!
Das ist ja nicht schlimm, wenn du dir merkst, wie man an so eine Aufgabe "ran" geht.
Die Antwort ist ganz einfach: Ein beliebiges [mm] $g\in [/mm] G$ ist in genau [mm] $2^{n-1}$ [/mm] Teilmengen enthalten (und deswegen natürlich auch in [mm] $2^{n-1}$ [/mm] Teilmengen nicht enthalten, da wir ja insgesamt [mm] $2^n$ [/mm] Teilmengen haben).
Bei der Ermittlung dieser Tatsache hilft es, sich vorzustellen, wie man alle Teilmengen (TM) einer Menge $G$ mit $n$ Elementen konstruieren kann.
Man startet mit der leeren Menge {}, also eine TM.
Dann nimmt man ein Element [mm] $g_1$ [/mm] dazu, und hat schon zwei TM (nämlich {} und [mm] $\{g_1\}$).
[/mm]
Dann das nächste Element [mm] $g_2$: [/mm] Jetzt gibt es wieder doppelt so viele TM, nämlich die bisherigen TM (die [mm] $g_2$ [/mm] nicht enthalten) und die bisherigen TM [mm] $\cup g_2$, [/mm] zu denen man also das neue Element hinzufügt.
Das macht man solange, bis alle $n$ Elemente verbraten sind.
Wie du siehst, verdoppelt sich in jedem Schritt die Anzahl der gefundenen TM, so dass man letztendlich [mm] $2^n$ [/mm] Stück hat.
Wenn du nun nach dem vorletzten Schritt, also im Schritt $n$, das letzte Element [mm] $g_n$ [/mm] hinzufügen willst, haben wir doch [mm] $2^{n-1}$ [/mm] bisher gefundene TM (die [mm] $g_n$ [/mm] natürlich noch nicht enthalten) und bilden in diesem Schritt [mm] $2^{n-1}$ [/mm] neue TM, indem wir [mm] $g_n$ [/mm] zu jeder bisher gefundenen TM hinzufügen.
Deswegen enthalten genau [mm] $2^{n-1}$ [/mm] TM das Element [mm] $g_n$, [/mm] und genau [mm] $2^{n-1}$ [/mm] weitere TM enthalten dieses [mm] $g_n$ [/mm] nicht.
Ist dir klar, dass man für jedes Element [mm] $g\in [/mm] G$ nun so verfahren kann, und jedes Element [mm] $g\in [/mm] G$ also in genau [mm] $2^{n-1}$ [/mm] TM von G enthalten ist?
Mit anderen Worten: Ein Element [mm] $g\in [/mm] G$ ist immer in genau [mm] $2^{n-1}$ [/mm] TM enthalten.
Deswegen ist [mm] $\{X=k\}=\{\}$ [/mm] für [mm] $k\not=2^{n-1}$ [/mm] und [mm] $\{X=k\}\not=\{\}$ [/mm] (sogar [mm] $\{X=k\}=G$) [/mm] für [mm] $k=2^{n-1}$.
[/mm]
Alles klar? Wenn du es nicht verstanden hast, melde dich wieder
Viele Grüße,
Marc
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