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| Aufgabe | Eine Münze mit den Seiten 0 und 1 werde zweimal unabhängig von einander geworfen. Beide Seiten haben jedes Mal die gleiche Chance oben zu liegen.
a) X sei das Minimum und Y die Summe der Ergebnisse des Münzwurfsexperimentes.
a.1) Welche Wete können X und Y annehmen
a.2) Geben Sie in einer geeigneten Tabelle gie gemeinsame Verteilung von X und Y an.
a.3) Bestimmen Sie die Marginalverteilungen und ermitteln Sie ob X und Y unabhängig sind.
b) Berechnen Sie E{X}, E{Y}, var{X}, var{Y}, cov(X,Y) und p(X,Y) |
Hallo Leute,
wir lernen gerade für die Klausur und versuchen diese Aufgaben zu lösen. Wir haben leider keine Musterlösungen. Deswegen stellen wir sie hier rein. Wir möchten eigentlich lediglich wissen, ob wir mit unseren Lösungen und Ansätzen richtig liegen.
Vielen Dank für eure Hilfe.
Zu der Aufgabe:
a.1)
X kann die werte X={0,1} annehmen, Y kann die Werte Y={0,1,2} annehmen.
a.2) Leider weiss ich nicht, wie man hier eine Tabelle erstellt daher ge ich es in eine Matrix ein:
Für X:
[mm]\begin {bmatrix}
0&1 \\
\bruch{3}{4}&\bruch{1}{4}\\
\end{bmatrix}
[/mm]
Für Y:
[mm]\begin {bmatrix}
0&1&2 \\
\bruch{1}{4}&\bruch{2}{4}&\bruch{1}{4}\\
\end{bmatrix}
[/mm]
a.3) Keine ahnung was eine Marginalverteilung ist. Da brauche ich Hilfe !
b)
[mm]E(X)=0 \cdot \bruch{3}{4}+1 \cdot \bruch{1}{4}=\bruch{1}{4}[/mm]
[mm]E(Y)=0 \cdot \bruch{1}{4}+1 \cdot \bruch{2}{4} + 2 \cdot\bruch{1}{4}=1[/mm]
Ab hier kommen wir leider nicht weiter und brauchen Hilfe. Die Definitionen von var usw. sind im Skript etwas verwirrend. Daher wäre eine Erklärung an diesem Beispiel für uns Gold wert!
Vielen Dank!
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Du hast in Aufgabenteil a.2) nicht die gemeinsame Verteilung von [mm]X[/mm] und [mm]Y[/mm] angegeben, sondern die einzelnen Verteilungen dieser Zufallsgrößen.
Bei der gemeinsamen Verteilung zweier Zufallsgrößen [mm]X,Y[/mm] gibt man für jeden Wert [mm]x[/mm] von [mm]X[/mm] und jeden Wert [mm]y[/mm] von [mm]Y[/mm] die Wahrscheinlichkeit [mm]P \left( X=x,Y=y \right)[/mm] an. Das Komma ist in diesem Zusammenhang wie ein logisches "und" zu lesen, es handelt sich also um den Schnitt zweier Ereignisse.
Wenn [mm]X[/mm] und [mm]Y[/mm] nur endlich viele Werte haben, kann man das gut mit einer Tabelle beschreiben.
Wann tritt etwa in der vorliegenden Aufgabe [mm]X=0[/mm] und [mm]Y=0[/mm] gleichzeitig ein? Das ist offenbar nur dann der Fall, wenn beide Münzwürfe 0 ergeben. Also ist
[mm]P(X=0,Y=0) = \frac{1}{4}[/mm]
Und wann gilt [mm]X=1[/mm] und [mm]Y=0[/mm]? Die Summe [mm]Y[/mm] kann nur 0 werden, wenn beide Münzwürfe 0 sind. Das Minimum [mm]X[/mm] dagegen kann nur 1 werden, wenn beide Münzwürfe 1 ergeben. Das ist unvereinbar miteinander. Der Schnitt der beiden Ereignisse ist also das unmögliche Ereignis. Es gilt daher
[mm]P(X=1,Y=0) = P(\emptyset) = 0[/mm]
Diese beiden Werte habe ich schon einmal in die Tabelle eingetragen. Jetzt fülle den Rest der Tabelle selber aus.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Die grau unterlegten Felder bestimmen die beiden Marginalverteilungen (=Randverteilungen). Man erhält sie, indem man die Wahrscheinlichkeiten links von einem grauen Feld bzw. oberhalb von einem grauen Feld addiert. Wenn du alles richtig gemacht hast, sollten sich als Randverteilungen die Verteilungen von [mm]X[/mm] und [mm]Y[/mm] ergeben.
Und unabhängig sind die beiden Zufallsgrößen [mm]X[/mm] und [mm]Y[/mm], wenn die Tabelle eine Multiplikationstabelle ist. Wenn du also eine Randwahrscheinlichkeit rechts mit einer Randwahrscheinlichkeit unten miteinander multiplizierst und im Kreuzungspunkt der zugehörigen Zeile und Spalte genau das Produkt der beiden Zahlen steht, und wenn das stets der Fall ist, dann sind [mm]X[/mm] und [mm]Y[/mm] unabhängig. Ist die Tabelle dagegen keine Multiplikationstabelle, so sind [mm]X[/mm] und [mm]Y[/mm] stochastisch abhängig.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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Hi,
vielen lieben Dank für Deine ausführliche Antwort.
Das hat uns super weiter gebracht.
Hier die ausgefüllte Tabelle:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Wir wissen jetzt auch, dass X und Y abhängig sind.
Wir nur noch eine Frage:
Haben wir die Erwartungswerte richtig gerechnet? Und Wie rechnen wir den Rest ?
Vielen Dank nochmals
Grüße
Serhat
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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Ja, die Erwartungswerte stimmen. Beginnen wir mit der Varianz. Sie ist folgendermaßen definiert:
[mm]\operatorname{Var}(X) = \mathcal{E}\left( X^2 \right) - \left( \mathcal{E}(X) \right)^2[/mm]
Den hinteren Teil hast du schon (ohne das Quadrat). Und [mm]\mathcal{E}\left( X^2 \right)[/mm] berechnest du, indem du die quadrierten Werte von [mm]X[/mm] mit den zugehörigen Wahrscheinlichkeiten multiplizierst und aufsummierst.
Für die Kovarianz gilt dann
[mm]\operatorname{Cov}(X,Y) = \mathcal{E}(XY) - \mathcal{E}(X) \cdot \mathcal{E}(Y)[/mm]
Zur Berechnung von [mm]\mathcal{E}(XY)[/mm] kannst du vorteilhaft die Tabelle für die gemeinsame Verteilung verwenden.
Ohne Garantie auf Richtigkeit habe ich die folgenden Werte erhalten:
[mm]\operatorname{Var}(X) = \frac{3}{16} \, , \ \ \operatorname{Var}(Y) = \frac{1}{2} \, , \ \ \operatorname{Cov}(X,Y) = \frac{1}{4}[/mm]
Und was soll das [mm]p(X,Y)[/mm] eigentlich sein? Meinst du damit den griechischen Buchstaben rho, also [mm]\varrho(X,Y)[/mm], d.h. den Korrelationskoeffizienten? Falls ja, dann schau ![[]](/images/popup.gif) hier.
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Das ist klasse,
vielen Dank für die Hilfe :)
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