Stirling Zahlen 2.Art < Sonstiges < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:10 Mi 11.05.2005 | | Autor: | dauwer |
Hallo, ich habe folgende Aufgabe zu den Stirling Zahlen zu bearbeiten:
Zeigen Sie, dass für Stirling Zahlen 2. Art
[mm] {S_{kn} := |Sur(k,n)/\sim|}
[/mm]
die folgende Rekursionsformel
[mm] {S_{kn} = S_{k-1,n-1} + n * S_{k-1,n}}
[/mm]
für n,k>0 , [mm] {n,k\in\IN} [/mm] gilt.
Es wäre nett, wenn mir jemand helfen könnte.
Danke, Marc
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Hallo!
Versuch's mal mit folgendem Ansatz:
Die Zahl $S(k,n)$ gibt ja gerade die Anzahl der $n$-Partionen der Menge [mm] $\{1,\dots,k\}$ [/mm] an. Das heißt, du zerlegst [mm] $\{1,\dots,k\}$ [/mm] in $n$ disjunkte Mengen [mm] $P_i$ [/mm] mit [mm] $\bigcup\limits_{i=1}^nP_i=\{1,\dots,k\}$...
[/mm]
Jetzt gibt es zwei Möglichkeiten: Entweder, die Menge [mm] $\{k\}$ [/mm] ist in der Partition enthalten, (d.h. es gibt ein [mm] $i\le [/mm] n$ mit [mm] $P_i=\{k\}$, [/mm] oder nicht.
Im ersten Fall kannst du das Problem dann darauf zurückführen, $n-1$-Partitionen der Menge [mm] $\{1,\dots,k-1\}$ [/mm] zu finden.
Im zweiten Fall kannst du das Problem darauf zurückführen, $n$-Partitionen der Menge [mm] $\{1,\dots,k-1\}$ [/mm] zu finden und das $k$ dann noch irgendwo hinzuzufügen... Dafür gibt's dann jeweils $n$ Möglichkeiten...
Hilft dir das auf die Sprünge?
Gruß, banachella
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