Stetigkeitssatz < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:46 Mi 23.10.2013 | | Autor: | piriyaie |
| Aufgabe | Sei [mm] \mathcal{R} [/mm] ein Ringsystem und [mm] \mu [/mm] : [mm] \mathcal{R} \rightarrow \overline{\IR} [/mm] ein Inhalt.
Beweisen Sie:
a) [mm] \mu [/mm] ist Prämaß. [mm] \gdw [/mm] b) [mm] \forall A_{1}, [/mm] ..., [mm] A_{n} \in \mathcal{R}, [/mm] isoton: [mm] \bigcup_{n \in \IN} A_{n} \in \mathcal{R} \Rightarrow lim_{n \rightarrow \infty} \mu(A_{n}) [/mm] = [mm] \mu(\bigcup_{n \in \IN} A_{n}). \Rightarrow [/mm] c) [mm] \forall A_{1}, [/mm] ..., [mm] A_{n} \in \mathcal{R}, [/mm] antiton : [mm] \bigcap_{n \in \IN} A_{n} \in \mathcal{R} [/mm] und [mm] \mu(A_{1}) [/mm] < [mm] \infty \Rightarrow \lim_{n \rightarrow \infty} \mu (A_{n})=\mu (\bigcap_{n \in \IN} A_{n}). \gdw [/mm] d) [mm] \forall A_{1}, [/mm] ..., [mm] A_{n} \in \mathcal{R}, [/mm] antiton : [mm] \bigcap_{n \in \IN} A_{n} [/mm] = [mm] \emptyset [/mm] und [mm] \mu(A_{1})<\infty \Rightarrow \lim_{n \rightarrow \infty} \mu(A_{n})=0 [/mm] |
Hallo,
ich möchte obiges beweisen.
Ich würde so anfangen, dass ich zuerst a) [mm] \gdw [/mm] b) zeige dann a) [mm] \Rightarrow [/mm] c) und dann c) [mm] \gdw [/mm] d).
Hier die Definitionen:
Inhalt:
[mm] \mu [/mm] : [mm] \mathcal{A} \rightarrow[0, \infty [/mm] ]
1. [mm] \mu(\emptyset)=0
[/mm]
2. [mm] A_{1}, [/mm] ..., [mm] A_{n} \in \mathcal{A} [/mm] : [mm] A_{i} \cap A_{j} [/mm] = [mm] \emptyset [/mm] für i [mm] \not= [/mm] j
(Prä-)maß: [mm] \mu(\bigcup_{j \in J}A_{j}) [/mm] = [mm] \summe_{j \in J} \mu(A_{j})
[/mm]
Beim Prämaß würde doch satt dem = ein [mm] \le [/mm] dastehen. Oder????
Muss ich jetzt zunächst ermal zeigen dass die Abbildung ein Inhalt ist???
Wie fange ich genau an??? Kann ich einfach irgendwelche [mm] A_{j} [/mm] nehmen?
Wäre super wenn mir jemand sagen könnte wie ich da denn überhaupt anfangen soll.
Danke
Grüße
Ali
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:23 Mi 23.10.2013 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm]\mathcal{R}[/mm] ein Ringsystem und [mm]\mu[/mm] : [mm]\mathcal{R} \rightarrow \overline{\IR}[/mm]
> ein Inhalt.
> Beweisen Sie:
>
> a) [mm]\mu[/mm] ist Prämaß. [mm]\gdw[/mm] b) [mm]\forall A_{1},[/mm] ..., [mm]A_{n} \in \mathcal{R},[/mm]
> isoton: [mm]\bigcup_{n \in \IN} A_{n} \in \mathcal{R} \Rightarrow lim_{n \rightarrow \infty} \mu(A_{n})[/mm]
> = [mm]\mu(\bigcup_{n \in \IN} A_{n}). \Rightarrow[/mm] c) [mm]\forall A_{1},[/mm]
> ..., [mm]A_{n} \in \mathcal{R},[/mm] antiton : [mm]\bigcap_{n \in \IN} A_{n} \in \mathcal{R}[/mm]
> und [mm]\mu(A_{1})[/mm] < [mm]\infty \Rightarrow \lim_{n \rightarrow \infty} \mu (A_{n})=\mu (\bigcap_{n \in \IN} A_{n}). \gdw[/mm]
> d) [mm]\forall A_{1},[/mm] ..., [mm]A_{n} \in \mathcal{R},[/mm] antiton :
> [mm]\bigcap_{n \in \IN} A_{n}[/mm] = [mm]\emptyset[/mm] und [mm]\mu(A_{1})<\infty \Rightarrow \lim_{n \rightarrow \infty} \mu(A_{n})=0[/mm]
>
> Hallo,
>
> ich möchte obiges beweisen.
>
> Ich würde so anfangen, dass ich zuerst a) [mm]\gdw[/mm] b) zeige
> dann a) [mm]\Rightarrow[/mm] c) und dann c) [mm]\gdw[/mm] d).
>
> Hier die Definitionen:
>
> Inhalt:
> [mm]\mu[/mm] : [mm]\mathcal{A} \rightarrow[0, \infty[/mm] ]
>
> 1. [mm]\mu(\emptyset)=0[/mm]
> 2. [mm]A_{1},[/mm] ..., [mm]A_{n} \in \mathcal{A}[/mm] : [mm]A_{i} \cap A_{j}[/mm] =
> [mm]\emptyset[/mm] für i [mm]\not=[/mm] j
[mm] \mu(\bigcup_{i=1}^{n}A_i)=\summe_{i=1}^{n}\mu(A_i)
[/mm]
>
> (Prä-)maß: [mm]\mu(\bigcup_{j \in J}A_{j})[/mm] = [mm]\summe_{j \in J} \mu(A_{j})[/mm]
????
Ein Prämaß [mm] \mu [/mm] auf einem Ring [mm] \mathcal{A} [/mm] ist ein Inhalt mit der zusätzlichen Eigenschaft:
ist [mm] (A_i) [/mm] eine Folge in [mm] \mathcal{A}, [/mm] sind die [mm] A_i [/mm] paarweise disjunkt und ist [mm] \bigcup_{i=1}^{n}A_i \in \mathcal{A} [/mm] , so ist
[mm] \mu(\bigcup_{i=1}^{\infty}A_i)=\summe_{i=1}^{\infty}\mu(A_i)
[/mm]
>
> Beim Prämaß würde doch satt dem = ein [mm]\le[/mm] dastehen.
> Oder????
nein.
>
> Muss ich jetzt zunächst ermal zeigen dass die Abbildung
> ein Inhalt ist???
Nein. Nach Vor. ist doch [mm] \mu [/mm] ein Inhalt !!!
> Wie fange ich genau an??? Kann ich einfach irgendwelche
> [mm]A_{j}[/mm] nehmen?
nein.
>
> Wäre super wenn mir jemand sagen könnte wie ich da denn
> überhaupt anfangen soll.
Zu a) $ [mm] \gdw [/mm] $ b): Nach Vor. ist [mm] \mu [/mm] ein Inhalt.
Du sollst zeigen: [mm] \mu [/mm] hat die von mir oben genannte zusätzliche Eigenschaft
[mm] \gdw [/mm]
ist [mm] (A_n) [/mm] eine isotone Folge mit [mm] \bigcup_{n \in \IN} A_{n} \in \mathcal{R} [/mm] , so gilt: [mm] lim_{n \rightarrow \infty} \mu(A_{n}) [/mm] = [mm] \mu(\bigcup_{n \in \IN} A_{n}).
[/mm]
FRED
>
> Danke
>
> Grüße
> Ali
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:31 Mi 23.10.2013 | | Autor: | piriyaie |
Hallo Fred,
Danke für deine Antwort.
Ich verstehe aber jetzt nach laaaaangem nachdenken immer noch nicht wie ich das beweisen soll.
Also ich muss ja zeigen:
Ist [mm] (A_{i}) [/mm] eine Folge in [mm] \mathcal{A}, [/mm] sind die [mm] A_{i} [/mm] paarweise disjunkt und ist [mm] \bigcup_{i=1}^{n} A_{i} \in \mathcal{A}, [/mm] so ist [mm] \mu(\bigcup_{i=1}^{\infty} A_{i}) [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{\infty} \mu(A_{i})
[/mm]
[mm] \gdw
[/mm]
Ist [mm] (A_{n}) [/mm] eine isotone Folge mit [mm] \bigcup_{n \in \IN} A_{n} \in \mathcal{R}, [/mm] so gilt: [mm] \limes_{n \rightarrow \infty} \mu(A_{n})=\mu(\bigcup_{n \in \IN} A_{n})
[/mm]
Also wo soll ich anfangen? Beide Sätze setzen vorraus, dass [mm] A_{i} [/mm] bzw. [mm] A_{n} [/mm] eine Folge ist. Der zweite satz fordert noch, dass [mm] A_{n} [/mm] eine isotone Folge ist.
Isoton bedeutet ordnungserhaltend also für a, b [mm] \in [/mm] M gilt: a [mm] \le [/mm] b [mm] \Rightarrow [/mm] f(a) [mm] \le [/mm] f(b).
Soll ich zeigen, dass die Folge vom ersten Satz isoton ist???
Beide Sätze fordern auch, dass die Vereinigung der Folgen wieder im Mengensystem ist.
Der limes des zweiten Satzes ist gleich der Folgerung des ersten Satzes.
Also [mm] \limes_{n \rightarrow \infty} \mu(A_{n}) [/mm] = [mm] \mu(\bigcup_{n \in \IN} A_{n})=\summe_{i=1}^{\infty} \mu(A_{i})
[/mm]
Darf ich das so schreiben??? Oder muss ich erst zeigen, dass die [mm] A_{n} [/mm] s des zweiten Satzes paarweise disjunkt sind???
Wäre super, wenn mir jemand eine Struktur geben könnte.
Grüße
Ali
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:05 Do 24.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Ali!
> Also ich muss ja zeigen:
>
> Ist [mm](A_{i})[/mm] eine Folge in [mm]\mathcal{A},[/mm] sind die [mm]A_{i}[/mm]
> paarweise disjunkt und ist [mm]\bigcup_{i=1}^{n} A_{i} \in \mathcal{A},[/mm]
> so ist [mm]\mu(\bigcup_{i=1}^{\infty} A_{i})[/mm] =
> [mm]\summe_{i=1}^{\infty} \mu(A_{i})[/mm]
>
> [mm]\gdw[/mm]
>
> Ist [mm](A_{n})[/mm] eine isotone Folge mit [mm]\bigcup_{n \in \IN} A_{n} \in \mathcal{R},[/mm]
> so gilt: [mm]\limes_{n \rightarrow \infty} \mu(A_{n})=\mu(\bigcup_{n \in \IN} A_{n})[/mm]
(Es muss im oberen Teil heißen: [mm] $\bigcup_{i=1}^{\green\infty} A_{i} \in \mathcal{A}$.)
[/mm]
Ja.
> Also wo soll ich anfangen?
Mit einer der beiden Richtungen. Suche dir aus, mit welcher.
> Beide Sätze setzen vorraus,
> dass [mm]A_{i}[/mm] bzw. [mm]A_{n}[/mm] eine Folge ist. Der zweite satz
> fordert noch, dass [mm]A_{n}[/mm] eine isotone Folge ist.
Und der erste, dass die [mm] $A_n$ [/mm] paarweise disjunkt sind.
> Isoton bedeutet ordnungserhaltend also für a, b [mm]\in[/mm] M
> gilt: a [mm]\le[/mm] b [mm]\Rightarrow[/mm] f(a) [mm]\le[/mm] f(b).
Das ist die Definition von [mm] $f\colon M\to [/mm] N$ ordnungserhaltend (wobei $M$ und $N$ mit Ordnungen versehen sind, die beide mit [mm] $\le$ [/mm] bezeichnet werden).
Hier soll
[mm] $\IN\to\mathcal{R},\quad n\mapsto A_n$
[/mm]
isoton sein, wobei auf [mm] $\IN$ [/mm] die gewöhnliche Ordnung [mm] $\le$ [/mm] und auf [mm] $\mathcal{R}$ [/mm] die Ordnung [mm] $\subseteq$ [/mm] gemeint ist.
Die Isotonie-Bedingung bedeutet also
[mm] $A_n\subseteq A_m$ [/mm] für alle [mm] $n,m\in\IN$ [/mm] mit [mm] $n\le [/mm] m$.
Das ist äquivalent zu
[mm] $A_{n}\subseteq A_{n+1}$ [/mm] für alle [mm] $n\in\IN$,
[/mm]
was sich wiederum intuitiv schreiben lässt durch
[mm] $A_1\subseteq A_2\subseteq A_3\subseteq\ldots$.
[/mm]
> Soll ich zeigen, dass die Folge vom ersten Satz isoton
> ist???
Das wird dir nicht gelingen.
> Beide Sätze fordern auch, dass die Vereinigung der Folgen
> wieder im Mengensystem ist.
Genauer: Beide Sätze sagen etwas aus unter der Voraussetzung, dass die Vereinigung der [mm] $A_n$ [/mm] wieder in [mm] $\mathcal{R}$ [/mm] ist.
> Der limes des zweiten Satzes ist gleich der Folgerung des
> ersten Satzes.
>
> Also [mm]\limes_{n \rightarrow \infty} \mu(A_{n})[/mm] =
> [mm]\mu(\bigcup_{n \in \IN} A_{n})=\summe_{i=1}^{\infty} \mu(A_{i})[/mm]
>
> Darf ich das so schreiben???
Das wird im Allgemeinen nicht gelten.
> Oder muss ich erst zeigen,
> dass die [mm]A_{n}[/mm] s des zweiten Satzes paarweise disjunkt
> sind???
Auch das wird dir nicht gelingen.
Betrachten wir etwa [mm] $b)\Rightarrow [/mm] a)$:
Gelte also $b)$.
Wir wollen $a)$ zeigen.
Sei [mm] $(A_n)_{n\in\IN}$ [/mm] eine Folge paarweise disjunkter Elemente [mm] $A_n\in\mathal{R}$ [/mm] mit [mm] $\sum_{n\in\IN}A_n\in\mathcal{R}$.
[/mm]
Zu zeigen ist [mm] $\mu(\sum_{n\in\IN}A_n)=\sum_{n\in\IN}\mu(A_n)$.
[/mm]
Nun müssen wir irgendwie b) ins Spiel bringen.
b) liefert uns etwas, sobald wir eine isotone Folge [mm] $(A_n')_{n\in\IN}$ [/mm] von Elementen [mm] $A_n'\in\mathcal{R}$ [/mm] mit [mm] $\bigcup_{n\in\IN}A_n'\in\mathcal{R}$ [/mm] haben.
Nun gilt es, aus den [mm] $A_n$ [/mm] irgendwie eine solche Folge [mm] $(A_n')_{n\in\IN}$ [/mm] zu basteln.
Betrachte mal [mm] $A_n':=\bigcup_{i=1}^nA_i$.
[/mm]
Ist [mm] $(A_n')_{n\in\IN}$ [/mm] isoton?
Gilt [mm] $\bigcup_{n\in\IN}A_n'\in\mathcal{R}$?
[/mm]
Was liefert uns also b)?
Viele Grüße
Tobias
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:57 Do 24.10.2013 | | Autor: | D.Luigi |
| Aufgabe | [mm] \mu [/mm] : [mm] \mathcal{R} [/mm] -> [mm] \IR [/mm] ist ein Inhalt auf einen Ring
a) [mm] \mu [/mm] ist Prämaß
<=>
b) $ [mm] \forall A_{1}, [/mm] ... , [mm] A_{n} \in \mathcal{R}$, [/mm] isoton [mm] $\bigcup_{n \in \IN} A_{n} \in \mathcal{R} \Rightarrow lim_{n \rightarrow \infty} \mu(A_{n}) [/mm] $ |
Hallo,
so wie ich das verstehe kreiert man eine Mengenfolge und setzt diese anstatt [mm] A_n [/mm] ein. [mm] $\exists [/mm] $ [mm] A_n' \in \mathcal{R}
[/mm]
also:
Seien [mm] A_1,A_2,... \in\mathcal{R} [/mm] und [mm] \bigcup_{n\in\IN}A_n \in\mathcal{R}eine [/mm] isotone Mengenfolge, dann gilt für $ [mm] A_n' [/mm] = [mm] A_i \backslash A_{i-1}$
[/mm]
[mm] \mu(\bigcup^{\infty}_{i=1}A_i') [/mm] = [mm] \mu (\sum^{\infty}_{i=1}A_i') [/mm] = [mm] \sum^{\infty}_{i=1}\mu(A_i') [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\underbrace{\sum^{n}_{i=1}\mu(A_i')}_{=Präma"s / Inhalt}
[/mm]
Ich nehme also die kleinste Teilmenge [mm] A_1 [/mm] und definiere: das sei [mm] A_1'
[/mm]
...dann konstruiere ich ein weiteres Folgengllied: [mm] A_2' [/mm] = [mm] A_2 \backslash A_1 [/mm] ...usw
Wie bei einer Induktion lautet die Vorschrift für die Mengenfolge [mm] A_n' [/mm] = [mm] A_i [/mm] \ [mm] A_{i-1}
[/mm]
Dass die Folgenglieder alle paarweise disjunkt sind ist klar,
da ich vom Folgeglied die nächstkleinere Menge (=vorhergehendes Folgeglied) abziehe.
aus b) => a)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 05:40 Fr 25.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo D.Luigi!
> [mm]\mu[/mm] : [mm]\mathcal{R}[/mm] -> [mm]\IR[/mm] ist ein Inhalt auf einen Ring
>
> a) [mm]\mu[/mm] ist Prämaß
>
> <=>
>
> b) [mm]\forall A_{1}, ... , A_{n} \in \mathcal{R}[/mm], isoton
> [mm]\bigcup_{n \in \IN} A_{n} \in \mathcal{R} \Rightarrow lim_{n \rightarrow \infty} \mu(A_{n})[/mm]
[mm] $=\mu(\bigcup_{n\in\IN}A_n)$.
[/mm]
> Seien [mm]A_1,A_2,... \in\mathcal{R}[/mm] und [mm]\bigcup_{n\in\IN}A_n \in\mathcal{R}eine[/mm]
> isotone Mengenfolge,
Das ist ein guter Start, um b) nachzuweisen, nicht um a) nachzuweisen.
Du bist also bei [mm] $a)\Rightarrow [/mm] b)$, nicht bei [mm] $b)\Rightarrow [/mm] a)$.
> dann gilt für [mm]A_n' = A_i \backslash A_{i-1}[/mm]
Du meinst: [mm] $A_i'=A_i\setminus A_{i-1}$ [/mm] für [mm] $i\ge [/mm] 2$ und [mm] $A_1'=A_1$.
[/mm]
Da die [mm] $A_i'$ [/mm] paarweise disjunkt sind (hierbei geht die Isotonie der Folge der [mm] $A_n$ [/mm] ein), gilt gemäß a):
[mm] $\mu(\bigcup_{n=1}^\infty A_n)=$
[/mm]
> [mm]\mu(\bigcup^{\infty}_{i=1}A_i')[/mm] = [mm]\mu (\sum^{\infty}_{i=1}A_i')[/mm]
> = [mm]\sum^{\infty}_{i=1}\mu(A_i')[/mm] =
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\underbrace{\sum^{n}_{i=1}\mu(A_i')}_{=Präma"s / Inhalt}[/mm]
Ja, jetzt weitermachen:
[mm] $\ldots=\lim_{n\to\infty}\mu(\underbrace{\sum_{i=1}^nA_i'}_{=A_n})=\lim_{n\to\infty}\mu(A_n)$.
[/mm]
Viele Grüße
Tobias
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:49 Fr 25.10.2013 | | Autor: | D.Luigi |
| Aufgabe | Sei [mm]\mathcal{R}[/mm] ein Ringsystem und [mm]\mu[/mm] : [mm]\mathcal{R} \rightarrow \overline{\IR}[/mm] ein Inhalt.
Beweisen Sie:
a) [mm]\mu[/mm] ist Prämaß.
=>
b) [mm] \forall A_{1},A_2,... \in\mathcal{R}, [/mm] isoton: [mm] $\bigcup_{n \in \IN} A_{n} \in \mathcal{R} \Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty}\mu(A_{n}) [/mm] = [mm] \mu(\bigcup_{n \in \IN} A_{n}). [/mm] |
Es macht wohl nen Unterschied zu [mm] \forall A_{1},..., A_n \in\mathcal{R} [/mm] was für endliche [mm] A_i [/mm] steht, was man zur Darstellung der Disjunktheit einer Mengenfolge eines Inhaltes benötigt. Diese Schreibweise [mm] \forall A_{1},A_2,... \in\mathcal{R} [/mm] findet im Stetigkeitssatz Anwendung, da es sich laut Punkt a) um ein Prämaß handelt (siehe b)=>a))
Seien [mm] A_1, A_2,... \in\mathcal{R} [/mm] paarweise disjunkte Mengen mit der Eigenschaft [mm] \sum_{i\in\IN}Ai \in\mathcal{R} =\mu(\sum^{\infty}_{i=1}A_i) [/mm] = [mm] \sum^{\infty}_{i=1}\mu(A_i)
[/mm]
gilt für die Mengenfolge
[mm] A_n' :=A_1'=A_1 [/mm] , [mm] A_2'=(A_1\cup A_2) [/mm] , [mm] A_3'=(A_2'\cup A_3) [/mm] , ... [mm] ,\bigcup^{i-1}_{j=1}A_j\cup A_i [/mm] = [mm] \bigcup^{\infty}_{i=1}A_i' \in\mathcal{R} [/mm] isoton,
weil mit [mm] A_i \subset A_{i-1} [/mm] nun alle [mm] A_1', A_2',... \in\mathcal{R} [/mm] nicht mehr paarweise disjunkte sind sondern eine isotone Mengenfolge
und [mm] \bigcup_{n\in\IN}A_n' \in\mathcal{R} \Rightarrow \limes_{n\to\infty} \mu (A_n') [/mm] = [mm] \mu(\limes_{n\to\infty} A_n') [/mm] = [mm] \mu(\bigcup_{n\in\IN}A_n')
[/mm]
der Schritt von a) => b) ist bewiesen?!
Gruß
LuD
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 06:08 Fr 25.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
> Sei [mm]\mathcal{R}[/mm] ein Ringsystem und [mm]\mu[/mm] : [mm]\mathcal{R} \rightarrow \overline{\IR}[/mm]
> ein Inhalt.
> Beweisen Sie:
>
> a) [mm]\mu[/mm] ist Prämaß.
>
> =>
>
> b) [mm]\forall A_{1},A_2,... \in\mathcal{R},[/mm] isoton:
> [mm]$\bigcup_{n \in \IN} A_{n} \in \mathcal{R} \Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty}\mu(A_{n})[/mm]
> = [mm]\mu(\bigcup_{n \in \IN} A_{n}).[/mm]
Dieser Versuch ist näher an einem Beweis von [mm] $b)\Rightarrow [/mm] a)$ als an einem Beweis von [mm] $a)\Rightarrow [/mm] b)$.
Daher korrigiere ich ihn nun so, als ob ein Beweis von [mm] $b)\Rightarrow [/mm] a)$ beabsichtigt gewesen wäre.
> Seien [mm]A_1, A_2,... \in\mathcal{R}[/mm] paarweise disjunkte
> Mengen mit der Eigenschaft [mm]\sum_{i\in\IN}Ai \in\mathcal{R} [/mm]
Zu zeigen ist:
> [mm]\mu(\sum^{\infty}_{i=1}A_i)[/mm]
> = [mm]\sum^{\infty}_{i=1}\mu(A_i)[/mm]
> gilt für die Mengenfolge
> [mm]A_n' :=A_1'=A_1[/mm] , [mm]A_2'=(A_1\cup A_2)[/mm] , [mm]A_3'=(A_2'\cup A_3)[/mm]
> , ... ,
Guter Ansatz.
> [mm]\bigcup^{i-1}_{j=1}A_j\cup A_i[/mm] =
> [mm]\bigcup^{\infty}_{i=1}A_i' \in\mathcal{R}[/mm] isoton,
Die Gleichheit stimmt so natürlich im Allgemeinen nicht.
Du meintest vermutlich
[mm] $\bigcup_{i=1}^\infty A_i'=\bigcup_{i=1}^\infty A_i\in\mathcal{R}$
[/mm]
und die Folge der [mm] $A_i'$ [/mm] ist isoton.
> weil mit [mm]A_i \subset A_{i-1}[/mm]
[mm] $A_{i-1}\subset A_i$ [/mm] für alle [mm] $i\ge [/mm] 2$ meinst du.
> nun alle [mm]A_1', A_2',... \in\mathcal{R}[/mm]
> nicht mehr paarweise disjunkte sind sondern eine isotone
> Mengenfolge
> und [mm]\bigcup_{n\in\IN}A_n' \in\mathcal{R} \Rightarrow[/mm]
gemäß b)
> [mm]\limes_{n\to\infty} \mu (A_n')[/mm]
> = [mm]\mu(\limes_{n\to\infty} A_n')[/mm] =
> [mm]\mu(\bigcup_{n\in\IN}A_n')[/mm]
Die mittlere der drei Zeilen würde ich ersatzlos streichen.
Habt ihr überhaupt [mm] $\lim_{n\to\infty}A_n'$ [/mm] für eine isotone Mengenfolge [mm] $(A_n')_{n\in\IN}$ [/mm] definiert?
Zu zeigen ist ja [mm] $\mu(\sum^{\infty}_{i=1}A_i)=\sum^{\infty}_{i=1}\mu(A_i)$.
[/mm]
Es gilt tatsächlich unter Benutzung der Voraussetzung, dass [mm] $\mu$ [/mm] ein Inhalt ist:
[mm] $\mu(\underbrace{\sum^{\infty}_{i=1}A_i}_{=\bigcup_{n\in\IN}A_n'})=\mu(\bigcup_{n\in\IN}A_n')=\lim_{n\to\infty}\mu(A_n')=\lim_{n\to\infty}\mu(\summe_{i=1}^nA_i)=\lim_{n\to\infty}\summe_{i=1}^n\mu(A_i)=\summe_{i=1}^\infty\mu(A_i)$.
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:34 Fr 25.10.2013 | | Autor: | D.Luigi |
| Aufgabe 1 | | b) => a) oder a)=>b) |
> Dieser Versuch ist näher an einem Beweis von $ [mm] b)\Rightarrow [/mm] a) $ als an einem Beweis von $ [mm] a)\Rightarrow [/mm] b) $
> Daher korrigiere ich ihn nun so, als ob ein Beweis von $ [mm] b)\Rightarrow [/mm] a) $ beabsichtigt gewesen wäre.
Ach herje, das wars ja egtl nicht [?!?] ...aber könnte man das auch in der GegenRichtung ausführen:
[mm] \forall A_{1}, A_{2},... \in \mathcal{R} [/mm] paarw.disj.: [mm] \sum_{i\in\IN}Ai \in\mathcal{R} [/mm] => [mm] \mu(\sum^{\infty}_{i=1}A_i) [/mm] = [mm] \sum^{\infty}_{i=1}\mu(A_i)
[/mm]
Zuzgn ist: $ [mm] \bigcup_{n\in\IN}A_n' \in\mathcal{R} \Rightarrow \limes_{n\to\infty} \mu (A_n') [/mm] = [mm] \mu(\bigcup_{n\in\IN}A_n')$
[/mm]
Für die Mengenfolge $ [mm] A_n' :=\{ A_1'=A_1 $ , $ A_2'=(A_1\cup A_2) , A_3'=(A_2'\cup A_3) $ , ... , $ \bigcup^{i-1}_{j=1}A_j\cup A_i \} [/mm] = [mm] \bigcup^{\infty}_{i=1}A_i' [/mm] $ und [mm] i,n\in\IN [/mm] gilt, ...
[ >> Die Mengenfolge ist ja so konstruirt, dass aus einer paarweise disjunkten Mengenvereinigung [mm] A_n [/mm] eine isotone Mengenfolge [mm] A_n' [/mm] wird...oder ist das auch falsch herum? ]
..., dass mit [mm] \bigcup_{i=1}^\infty A_i [/mm] = [mm] \bigcup_{i=1}^\infty A_i' \in\mathcal{R} [/mm] und [mm] A_i' \subset A_{i+1}' [/mm] die Mengenvereinigung [mm] A_n' [/mm] einer isotonen Mengenfolge [mm] A_1', A_2',... \in\mathcal{R} [/mm] isoton entspricht.
Unter Benutzung der Voraussetzung, dass $ [mm] \mu [/mm] $ ein Inhalt ist, folgere ich daraus:
$ [mm] \lim_{n\to\infty}\mu(A_n')=\lim_{n\to\infty}\mu(\summe_{i=1}^nA_i)=\lim_{n\to\infty}\summe_{i=1}^n\mu(A_i)=\summe_{i=1}^\infty\mu(A_i) [/mm] = [mm] \bigcup_{i=1}^\infty \mu(A_i) [/mm] = [mm] \bigcup_{i=1}^\infty \mu(A_i') [/mm] = [mm] \mu(\bigcup_{n\in\IN}A_n') [/mm] $ .
?!?
ist das in Text und Zeichen richtig? (Spannung!)
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
> > = $ [mm] \mu(\limes_{n\to\infty} A_n') [/mm] $
> Die mittlere der drei Zeilen würde ich ersatzlos streichen.
Ja ok, is mir klar, danke.
> Habt ihr überhaupt $ [mm] \lim_{n\to\infty}A_n' [/mm] $ für eine isotone Mengenfolge $ [mm] (A_n')_{n\in\IN} [/mm] $ definiert?
hm, Nein...bis auf den Stetigkeitssatz: haben wir Isotonie und Antitonie nicht weiter definiert (oder erklärt)
| Aufgabe 2 | Stetigkeitssatz
a) [mm]\mu[/mm] ist Prämaß [mm] \forall A_{1}, A_{2},... \in \mathcal{R} [/mm] paarw.disj.: $ [mm] \sum_{i\in\IN}Ai \in\mathcal{R} \Rightarrow \mu(\sum^{\infty}_{i=1}A_i) [/mm] $ = $ [mm] \sum^{\infty}_{i=1}\mu(A_i) [/mm] $
<=>
b) [mm] \forall A_{1},A_2,... \in\mathcal{R}, [/mm] isoton (mit [mm] A_i \subseteq A_{i+1}): $\bigcup_{n \in \IN} A_{n} \in \mathcal{R} \Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty}\mu(A_{n}) [/mm] = [mm] \mu(\bigcup_{n \in \IN} A_{n} [/mm] $).
=>
c) [mm] \forall A_{1}, A_{2},... \in \mathcal{R}, [/mm] antiton (mit [mm] A_i \supseteq A_{i+1}): \bigcap_{n \in \IN} A_{n} \in \mathcal{R} \mbox{ \underline{und} } \mu(A_{i}) [/mm] < [mm] \infty \Rightarrow \lim_{n \rightarrow \infty} \mu (A_{n})=\mu (\bigcap_{n \in \IN} A_{n}).
[/mm]
<=>
d) [mm] \forall A_{1}, A_{2},... \in \mathcal{R}, [/mm] antiton : [mm] \bigcap_{n \in \IN} A_{n} [/mm] = [mm] \emptyset [/mm] , [mm] \mbox{ \underline{und} } \mu(A_{i})<\infty \Rightarrow \lim_{n \rightarrow \infty } \mu(A_{n})=0 [/mm] |
das wars und darauf bezieht sich im Endeffekt alles...
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:13 Fr 25.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
> > Dieser Versuch ist näher an einem Beweis von
> [mm]b)\Rightarrow a)[/mm] als an einem Beweis von [mm]a)\Rightarrow b)[/mm]
>
> > Daher korrigiere ich ihn nun so, als ob ein Beweis von
> [mm]b)\Rightarrow a)[/mm] beabsichtigt gewesen wäre.
> Ach herje, das wars ja egtl nicht [?!?] ...aber könnte
> man das auch in der GegenRichtung ausführen:
OK, ich korrigiere das Folgende nun so, als ob ein Beweis von [mm] $a)\Rightarrow [/mm] b)$ beabsichtigt ist.
> [mm]\forall A_{1}, A_{2},... \in \mathcal{R}[/mm] paarw.disj.:
> [mm]\sum_{i\in\IN}Ai \in\mathcal{R}[/mm] =>
> [mm]\mu(\sum^{\infty}_{i=1}A_i)[/mm] = [mm]\sum^{\infty}_{i=1}\mu(A_i)[/mm]
Ja, das können wir gemäß a) annehmen.
Beachte: Wir haben keine konkrete Folge paarweise disjunkter Mengen vorgegeben!
> Zuzgn ist: [mm]\bigcup_{n\in\IN}A_n' \in\mathcal{R} \Rightarrow \limes_{n\to\infty} \mu (A_n') = \mu(\bigcup_{n\in\IN}A_n')[/mm]
Zu zeigen ist, dass diese Implikation für ALLE isotonen Folgen [mm] $(A_n')_{n\in\IN}$ [/mm] mit [mm] $A_n'\in\mathcal{R}$ [/mm] für alle [mm] $n\in\IN$ [/mm] gilt.
Also ist eine BELIEBIG VORGEGEBENE isotone Mengenfolge [mm] $(A_n')_{n\in\IN}$ [/mm] mit [mm] $A_n'\in{R}$ [/mm] für alle [mm] $n\in\IN$ [/mm] zu betrachten und für diese Folge [mm] $\bigcup_{n\in\IN}A_n' \in\mathcal{R} \Rightarrow \limes_{n\to\infty} \mu (A_n') [/mm] = [mm] \mu(\bigcup_{n\in\IN}A_n')$ [/mm] zu zeigen.
> Für die Mengenfolge [mm]A_n' :=\{ A_1'=A_1[/mm] , [mm]A_2'=(A_1\cup A_2) , A_3'=(A_2'\cup A_3)[/mm]
(Komische Notation...)
Wir haben bisher gar keine konkrete Folge [mm] $(A_n)_{n\in\IN}$ [/mm] vorliegen.
Du darfst die Folge [mm] $(A_n')_{n\in\IN}$ [/mm] nicht selbst wählen.
Schließlich willst du ja etwas über ALLE Folgen [mm] $(A_n')_{n\in\IN}$ [/mm] (mit gewissen Eigenschaften) zeigen.
> , ... , [mm]\bigcup^{i-1}_{j=1}A_j\cup A_i \} = \bigcup^{\infty}_{i=1}A_i'[/mm]
[mm] $A_n'$ [/mm] soll gleich der Vereinigung aller [mm] $A_i'$ [/mm] sein?
Das stimmt natürlich im Allgemeinen nicht.
> und [mm]i,n\in\IN[/mm] gilt, ...
> [ >> Die Mengenfolge ist ja so konstruirt, dass aus einer
> paarweise disjunkten Mengenvereinigung [mm]A_n[/mm] eine isotone
> Mengenfolge [mm]A_n'[/mm] wird...oder ist das auch falsch herum? ]
Es ist falsch herum.
> ..., dass mit [mm]\bigcup_{i=1}^\infty A_i[/mm] =
> [mm]\bigcup_{i=1}^\infty A_i' \in\mathcal{R}[/mm]
> und [mm]A_i' \subset A_{i+1}'[/mm]
> die Mengenvereinigung [mm]A_n'[/mm] einer isotonen Mengenfolge [mm]A_1', A_2',... \in\mathcal{R}[/mm]
> isoton entspricht.
Ja.
> Unter Benutzung der Voraussetzung, dass [mm]\mu[/mm] ein Inhalt
> ist, folgere ich daraus:
>
> [mm]\lim_{n\to\infty}\mu(A_n')=\lim_{n\to\infty}\mu(\summe_{i=1}^nA_i)=\lim_{n\to\infty}\summe_{i=1}^n\mu(A_i)=\summe_{i=1}^\infty\mu(A_i) = \bigcup_{i=1}^\infty \mu(A_i) = \bigcup_{i=1}^\infty \mu(A_i') = \mu(\bigcup_{n\in\IN}A_n')[/mm]
Vor den beiden letzten Gleichheitszeichen vereinigst du Zahlen!
Man kann natürlich nur Mengen vereinigen.
Vor ein sinnvolles Ende wäre unter Benutzung von a):
[mm] $\ldots=\summe_{i=1}^\infty\mu(A_i) [/mm] = [mm] \mu(\summe_{i=1}^\infty A_i)=\mu(\bigcup_{n\in\IN}A_n')$.
[/mm]
> _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
>
> > > = [mm]\mu(\limes_{n\to\infty} A_n')[/mm]
> > Die mittlere der
> drei Zeilen würde ich ersatzlos streichen.
> Ja ok, is mir klar, danke.
>
>
> > Habt ihr überhaupt [mm]\lim_{n\to\infty}A_n'[/mm] für eine isotone
> Mengenfolge [mm](A_n')_{n\in\IN}[/mm] definiert?
> hm, Nein...bis auf den Stetigkeitssatz: haben wir Isotonie
> und Antitonie nicht weiter definiert (oder erklärt)
> Stetigkeitssatz
Es ging weniger um eine fehlende Definition von Isotonie und Antitonie (diese Definitionen sind doch nun klar, oder?) als um eine fehlende Definition von [mm] $\lim_{n\to\infty}A_n'$.
[/mm]
Solange ihr/du das nicht definiert habt/hast, macht es keinen Sinn, einen solchen Ausdruck hinzuschreiben.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 03:01 Mo 28.10.2013 | | Autor: | D.Luigi |
| Aufgabe | Sei [mm]\mathcal{R}[/mm] ein Ringsystem und [mm]\mu[/mm] : [mm]\mathcal{R} \rightarrow \overline{\IR}[/mm] ein Inhalt.
Beweisen Sie:
a) [mm]\mu[/mm] ist Prämaß. <=> b) [mm] \forall B_{1},B_2,... \in\mathcal{R}, [/mm] isoton: [mm] $\bigcup_{n \in \IN} B_{n} \in \mathcal{R} \Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty}\mu(B_{n}) [/mm] = [mm] \mu(\bigcup_{n \in \IN} B_{n}). [/mm] |
Ich betrachte zuerst $ [mm] a)\Rightarrow [/mm] b) $:
Es gelte a) $ [mm] \mu [/mm] $ ist ein Prämaß mit $ [mm] \mu(\sum_{n\in\IN}A_n)=\sum_{n\in\IN}\mu(A_n) [/mm] $
Zu zeigen ist b):
Seien $ [mm] B_1, B_2,... \in\mathcal{R} [/mm] $ und $ [mm] \bigcup_{n\in\IN} B_n \in\mathcal{R}$ [/mm] eine isotone Mengenfolge [mm] (B_n\subseteq B_{n+1}),
[/mm]
dann ist für $ [mm] A_n=B_n\setminus B_{n-1} [/mm] $ mit $ [mm] n\ge [/mm] 2 $ und [mm] $A_1=B_1 [/mm] $, eine neue disjunkte Mengenfolge [mm] (A_n)_{n\in\IN} [/mm] gegeben.
Da die Folge $ [mm] A_n [/mm] $ paarweise disjunkt ist, gilt gemäß a):
$ [mm] \mu(\bigcup_{n=1}^\infty B_n)=\mu(\bigcup^{\infty}_{i=1}A_i) [/mm] = [mm] \mu (\underbrace{\summe^{\infty}_{i=1}A_i}_{A_n = disj.}) [/mm] = [mm] \summe^{\infty}_{i=1}\mu(A_i) [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \underbrace{\sum^{n}_{i=1}\mu(A_i)}_{=Präma"s / Inhalt} =\lim_{n\to\infty}\mu(\underbrace{\sum_{i=1}^nA_i}_{= B_n})=\lim_{n\to\infty}\mu(B_n) [/mm] $.
Oder macht das einen Unterschied wenn ich von der umkehrten Seiten komme(?):
> $ [mm] \lim_{n\to\infty}\mu(B_n)=\lim_{n\to\infty}\mu(\summe_{i=1}^nA_i)=\lim_{n\to\infty}\summe_{i=1}^n\mu(A_i) [/mm] = [mm] \summe_{n=1}^\infty\mu(A_n) [/mm] = [mm] \mu(\summe_{n=1}^\infty A_n)=\mu(\bigcup_{n\in\IN}B_n) [/mm] $
.... - $ _ [mm] \ldots [/mm] _ $-_ ..
Als nächstes betrachte ich $ [mm] b)\Rightarrow [/mm] a) $:
Gelte also $ b) $. Zu zeigen ist $ a) $
Sei $ [mm] (A_n')_{n\in\IN} [/mm] $ eine Folge paarweise disjunkter Elemente $ [mm] A_n'\in\mathal{R} [/mm] $ mit $ [mm] \sum_{n\in\IN}A_n'\in\mathcal{R} [/mm] $.
Zu zeigen ist $ [mm] \mu(\sum_{n\in\IN}A_n')=\sum_{n\in\IN}\mu(A_n') [/mm] $.
So gilt für eine beliebige Folge $ [mm] (B_n')_{n\in\IN} [/mm] $ von Elementen $ [mm] B_n'\in\mathcal{R} [/mm] $ mit $ [mm] \bigcup_{n\in\IN}A_n'\in\mathcal{R} [/mm] $
[mm] B_1'=A'_1 [/mm] , [mm] B_2'=(A_1'\cup A_2') [/mm] , [mm] B_3'=(B_2'\cup A_3') [/mm] , ... , [mm] \bigcup^{n-1}_{j=1}B_j\cup A_n' [/mm] = $ [mm] \bigcup_{n=1}^\infty B_n'=\bigcup_{n=1}^\infty A_n'\in\mathcal{R} [/mm] $,
die Folge $ [mm] (B_n')_{n\in\IN} [/mm] $ ist für alle [mm] B_1', B_2',... \in\mathcal{R} [/mm] mit $ [mm] A_{n-1}'\subset A_n' [/mm] $ , $ [mm] n\ge [/mm] 2 $ eine isotone Mengenfolge
Unter der Voraussetzung, dass $ [mm] \mu [/mm] $ ein Inhalt ist gilt:
$ [mm] \mu(\underbrace{\sum_{n\in\IN}A_n'}_{=\bigcup_{n\in\IN}B_n'})=\mu(\bigcup_{n\in\IN}B_n')= \mu(\bigcup_{n=1}^\infty A_n')=\lim_{m\to\infty}\mu(\summe_{n=1}^mA_n')=\lim_{m\to\infty}\summe_{n=1}^m\mu(A_n')=\summe_{n\in\IN}\mu(A_n') [/mm] $
.... -$_ [mm] -\ldots_ [/mm] -$_ ..
> > Da die $ [mm] A_n [/mm] $ paarweise disjunkt sind (hierbei geht die Isotonie der Folge der $ [mm] B_n [/mm] $ ein), gilt gemäß a): ...
Was hat die Isotonie von [mm] B_n [/mm] mit der Disjunktheit von [mm] A_n [/mm] zu tun? (wegen [mm] B_n [/mm] \ [mm] B_{n-1} [/mm] und [mm] B_n \subseteq B_{n+1}??)
[/mm]
Und gibt es einen besonderen Unterschied zwischen [mm] A_n [/mm] und [mm] A_i [/mm] (bzw. wann darf ich was verwenden?)?
Dieses Mal lässt es sich hoffentlich leichter in die gewollte Richtung korrigieren :-!
Gruß
LuD
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(Antwort) fertig | | Datum: | 05:59 Mo 28.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
> Sei [mm]\mathcal{R}[/mm] ein Ringsystem und [mm]\mu[/mm] : [mm]\mathcal{R} \rightarrow \overline{\IR}[/mm]
> ein Inhalt.
> Beweisen Sie:
> a) [mm]\mu[/mm] ist Prämaß. <=> b) [mm]\forall B_{1},B_2,... \in\mathcal{R},[/mm]
> isoton: [mm]\bigcup_{n \in \IN} B_{n} \in \mathcal{R} \Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty}\mu(B_{n})[/mm]
> = [mm]\mu(\bigcup_{n \in \IN} B_{n}).[/mm]
> Ich betrachte zuerst [mm]a)\Rightarrow b) [/mm]:
> Es gelte a) [mm]\mu[/mm]
> ist ein Prämaß mit
Also gilt
> [mm]\mu(\sum_{n\in\IN}A_n)=\sum_{n\in\IN}\mu(A_n)[/mm]
für alle paarweise disjunkten [mm]A_1,A_2,A_3,\ldots[/mm].
> Zu zeigen ist b):
>
> Seien [mm]B_1, B_2,... \in\mathcal{R}[/mm] und [mm]\bigcup_{n\in\IN} B_n \in\mathcal{R}[/mm]
> eine isotone Mengenfolge [mm](B_n\subseteq B_{n+1}),[/mm]
>
> dann ist für [mm]A_n=B_n\setminus B_{n-1}[/mm] mit [mm]n\ge 2[/mm] und
> [mm]A_1=B_1 [/mm], eine neue
(paarweise)
> disjunkte Mengenfolge [mm](A_n)_{n\in\IN}[/mm]
> gegeben.
Schön!
> Da die Folge [mm]A_n[/mm] paarweise disjunkt ist, gilt gemäß a):
>
> [mm]\mu(\bigcup_{n=1}^\infty B_n)=\mu(\bigcup^{\infty}_{i=1}A_i) = \mu (\underbrace{\summe^{\infty}_{i=1}A_i}_{A_n = disj.}) = \summe^{\infty}_{i=1}\mu(A_i) = \limes_{n\rightarrow\infty} \underbrace{\sum^{n}_{i=1}\mu(A_i)}_{=Präma"s / Inhalt} =\lim_{n\to\infty}\mu(\underbrace{\sum_{i=1}^nA_i}_{= B_n})=\lim_{n\to\infty}\mu(B_n) [/mm].
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Super!
> Oder macht das einen Unterschied wenn ich von der umkehrten
> Seiten komme(?):
> >
> [mm]\lim_{n\to\infty}\mu(B_n)=\lim_{n\to\infty}\mu(\summe_{i=1}^nA_i)=\lim_{n\to\infty}\summe_{i=1}^n\mu(A_i) = \summe_{n=1}^\infty\mu(A_n) = \mu(\summe_{n=1}^\infty A_n)=\mu(\bigcup_{n\in\IN}B_n)[/mm]
Normalerweise ist es ja egal, in welcher Richtung man eine Gleichungskette notiert.
Hier steckt jedoch in Ausdrücken wie [mm]\lim_{n\to\infty}\mu(B_n)[/mm] implizit die Behauptung drin, dass dieser Limes existiert.
In der oberen Variante von dir folgt von links nach rechts gelesen in jedem Schritt insbesondere die Existenz der auftretenden Limiten. Daher würde ich dieser oberen Variante den Vorzug geben.
> Als nächstes betrachte ich [mm]b)\Rightarrow a) [/mm]:
> Gelte also
> [mm]b) [/mm]. Zu zeigen ist [mm]a)[/mm]
>
> Sei [mm](A_n')_{n\in\IN}[/mm] eine Folge paarweise disjunkter
> Elemente [mm]A_n'\in\mathal{R}[/mm] mit
> [mm]\sum_{n\in\IN}A_n'\in\mathcal{R} [/mm].
> Zu zeigen ist
> [mm]\mu(\sum_{n\in\IN}A_n')=\sum_{n\in\IN}\mu(A_n') [/mm].
Schön.
> So gilt für eine beliebige Folge [mm](B_n')_{n\in\IN}[/mm] von
> Elementen [mm]B_n'\in\mathcal{R}[/mm] mit
> [mm]\bigcup_{n\in\IN}A_n'\in\mathcal{R}[/mm]
> [mm]B_1'=A'_1[/mm] , [mm]B_2'=(A_1'\cup A_2')[/mm] , [mm]B_3'=(B_2'\cup A_3')[/mm]
> , ... , [mm]\bigcup^{n-1}_{j=1}B_j\cup A_n'[/mm] =
> [mm]\bigcup_{n=1}^\infty B_n'=\bigcup_{n=1}^\infty A_n'\in\mathcal{R} [/mm],
>
> die Folge [mm](B_n')_{n\in\IN}[/mm] ist für alle [mm]B_1', B_2',... \in\mathcal{R}[/mm]
> mit [mm]A_{n-1}'\subset A_n'[/mm] , [mm]n\ge 2 [/mm] eine isotone
> Mengenfolge
Du meinst wahrscheinlich das Richtige, aber im Detail passt einiges nicht. Richtig:
Sei [mm]B_1':=A_1'[/mm], [mm]B_2':=B_1'\cup A_2'[/mm], [mm]B_3':=B_2'\cup A_3'[/mm], ...
(Oder: Sei [mm]B_1':=A_1'[/mm] und [mm]B_n':=B_{n-1}'\cup A_n[/mm] für [mm]n\ge 2[/mm].)
Dann gilt [mm]B_n'\in\mathcal{R}[/mm] für alle [mm]n\in\IN[/mm] und [mm]\bigcup_{n=1}^\infty B_n'=\summe_{n=1}^\infty A_n'\in\mathcal{R}[/mm] und die Folge der [mm]B_n'[/mm] ist isoton.
> Unter der Voraussetzung, dass [mm]\mu[/mm] ein Inhalt ist gilt:
>
> [mm]\mu(\underbrace{\sum_{n\in\IN}A_n'}_{=\bigcup_{n\in\IN}B_n'})=\mu(\bigcup_{n\in\IN}B_n')= \mu(\bigcup_{n=1}^\infty A_n')=\lim_{m\to\infty}\mu(\summe_{n=1}^mA_n')=\lim_{m\to\infty}\summe_{n=1}^m\mu(A_n')=\summe_{n\in\IN}\mu(A_n')[/mm]
Das dritte Gleichheitszeichen ist unbegründet.
(Du hast die Folge der [mm]B_n'[/mm] und die Gültigkeit von b) gar nicht wirklich verwendet...)
Gemäß b) gilt
[mm]\lim_{n\to\infty}\mu(B_n')=\mu(\bigcup_{n=1}^\infty B_n')[/mm].
Zeige damit
[mm]\mu(\sum_{n\in\IN}A_n')=\sum_{n\in\IN}\mu(A_n')[/mm].
> > > Da die [mm]A_n[/mm] paarweise disjunkt sind (hierbei geht die
> Isotonie der Folge der [mm]B_n[/mm] ein), gilt gemäß a): ...
> Was hat die Isotonie von [mm]B_n[/mm] mit der Disjunktheit von [mm]A_n[/mm]
> zu tun? (wegen [mm]B_n[/mm] \ [mm]B_{n-1}[/mm] und [mm]B_n \subseteq B_{n+1}??)[/mm]
Wir haben also jetzt [mm]A_n=B_n\setminus B_{n-1}[/mm] für [mm]n>1[/mm] und [mm]A_1=B_1[/mm] für eine isotone Mengenfolge [mm]B_1,B_2,B_3,\ldots[/mm] und wollen die paarweise Disjunktheit der [mm]A_n[/mm] zeigen.
Seien [mm]n,m\in\IN[/mm] mit [mm]n\not=m[/mm].
Wir wollen die Disjunktheit von [mm]A_n[/mm] und [mm]A_m[/mm] zeigen.
Sei etwa [mm]nm[/mm] geht analog).
Dann gilt [mm]n\le m-1[/mm] und wegen der Isotonie der Folge der [mm]B_i[/mm] somit die Beziehung [mm]B_n\subseteq B_{m-1}[/mm].
(Hier haben wir also die Isotonie der Folge der [mm]B_i[/mm] benutzt.)
Weiter gilt nach Wahl der [mm]A_n[/mm] die Beziehung [mm]A_n\subseteq B_n[/mm] (egal ob [mm]n=1[/mm] oder [mm]n>1[/mm]).
Wegen [mm]m>n\ge1[/mm] gilt [mm]A_m=B_m\setminus B_{m-1}[/mm].
Angenommen nun [mm]A_n[/mm] und [mm]A_m[/mm] wären nicht disjunkt, also [mm]A_n\cap A_m\not=\emptyset[/mm]. (Zu zeigen ist ein Widerspruch.)
Dann existiert ein [mm]\omega\in A_n\cap A_m[/mm].
Wegen [mm]\omega\in A_n\subseteq B_n\subseteq B_{m-1}[/mm] gilt [mm]\omega\in B_{m-1}[/mm].
Wegen [mm]\omega\in A_m=B_m\setminus B_{m-1}[/mm] gilt jedoch auch [mm]\omega\notin B_{m-1}[/mm].
Beides zusammen liefert den gewünschten Widerspruch.
Ist dir dieser Beweis vollständig klar?
Ansonsten bitte nachfragen!
> Und gibt es einen besonderen Unterschied zwischen [mm]A_n[/mm] und
> [mm]A_i[/mm] (bzw. wann darf ich was verwenden?)?
[mm]A_n[/mm] bezeichnet das n-te Glied der Folge [mm](A_k)_{k\in\IN}[/mm], [mm]A_i[/mm] das i-te Glied selbiger Folge.
Es gilt aber z.B. [mm](A_i)_{i\in\IN}=(A_n)_{n\in\IN}[/mm] und [mm]\bigcup_{i=1}^\infty A_i=\bigcup_{n=1}^\infty A_n[/mm].
Hier macht es keinen Unterschied, welche Variable du als Index verwendest.
Nur "Mischformen" wie [mm](A_i)_{n\in\IN}[/mm] oder [mm]\bigcup_{n=1}^\infty A_i[/mm] würden nicht das Gewünschte bezeichnen.
Auch, wenn du irgendetwas für alle [mm]n\in\IN[/mm] über [mm]A_n[/mm] aussagst, kannst du genauso gut für alle [mm]i\in\IN[/mm] das entsprechende über [mm]A_i[/mm] aussagen.
Nur eine "Mischform" ("für alle [mm]n\in\IN[/mm] gilt etwas über [mm]A_i[/mm]") würde wieder nicht zu der gewünschten Aussage führen.
Du hattest, glaube ich irgendwann einmal etwas ähnliches zu [mm]A_n:=B_i\setminus B_{i-1}[/mm] da stehen.
Das wäre auch so eine "Mischform".
Hier müsstest du dich zwischen [mm]A_n:=B_n\setminus B_{n-1}[/mm] für alle [mm]n\ge 2[/mm] und [mm]A_i:=B_i\setminus B_{i-1}[/mm] für alle [mm]i\ge 2[/mm] entscheiden.
> Dieses Mal lässt es sich hoffentlich leichter in die
> gewollte Richtung korrigieren :-!
Absolut!
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:14 Mo 28.10.2013 | | Autor: | D.Luigi |
Ja vielen Dank für die frühe Antwort.
Deinen Blitz-Beweis über die Notwendigkeit der Isotonie/Anatonie für die paarweise Disjunktheit hab ich verstanden, Danke.
...die zweite Folgerung nochmal verbessert:
[...]
Sei $ [mm] B_1':=A'_1 [/mm] $ , $ [mm] B_2:=(A_1'\cup A_2') [/mm] $ , $ [mm] B_3':=(B_2'\cup A_3') [/mm] $ , ... , $ [mm] B_n' [/mm] := [mm] \bigcup^{n-1}_{i=1}B_i\cup A_n' [/mm] $
Dann gilt $ [mm] (B_n')_{n\in\IN} \in\mathcal{R} [/mm] $ für alle $ [mm] n\in\IN [/mm] $ und $ [mm] \bigcup_{n=1}^\infty B_n'=\summe_{n=1}^\infty A_n'\in\mathcal{R} [/mm] $ und die Folge $ [mm] B_n'_{n\in\IN} [/mm] $ ist isoton.
Unter der Voraussetzung, dass $ [mm] \mu [/mm] $ ein Inhalt ist gilt:
$ [mm] \mu(\underbrace{\sum_{n\in\IN}A_n'}_{=\bigcup_{n\in\IN}B_n'})=\mu(\bigcup_{n\in\IN}B_n')= \limes_{n\rightarrow\infty}\mu(B'_{n}) [/mm] = [mm] \lim_{n\to\infty}\mu(\bigcup_{n=1}^\infty A_n') =\lim_{n\to\infty}\mu(\summe_{i=1}^n A_i')=\lim_{n\to\infty}\summe_{i=1}^n\mu(A_i')=\summe_{n\in\IN}\mu(A_n') [/mm] $
so müsste es besser sein?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:41 Mo 28.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
> ...die zweite Folgerung nochmal verbessert:
> [...]
> Sei [mm]B_1':=A'_1[/mm] , [mm]B_2:=(A_1'\cup A_2')[/mm] , [mm]B_3':=(B_2'\cup A_3')[/mm]
> , ... , [mm]B_n' := \bigcup^{n-1}_{i=1}B_i\cup A_n'[/mm]
> Dann gilt [mm](B_n')_{n\in\IN} \in\mathcal{R}[/mm]
[mm]B_n'\in\mathcal{R}[/mm] meinst du.
> für alle [mm]n\in\IN[/mm]
> und [mm]\bigcup_{n=1}^\infty B_n'=\summe_{n=1}^\infty A_n'\in\mathcal{R}[/mm]
> und die Folge [mm]B_n'_{n\in\IN}[/mm] ist isoton.
Ja.
> Unter der Voraussetzung, dass [mm]\mu[/mm] ein Inhalt ist gilt:
>
> [mm]\mu(\underbrace{\sum_{n\in\IN}A_n'}_{=\bigcup_{n\in\IN}B_n'})=\mu(\bigcup_{n\in\IN}B_n')= \limes_{n\rightarrow\infty}\mu(B'_{n}) = \lim_{n\to\infty}\mu(\bigcup_{n=1}^\infty A_n')[/mm]
Rechts muss es [mm]\bigcup_{i=1}^nA_i'[/mm] anstelle von [mm]\bigcup_{n=1}^\infty A_n'[/mm] heißen.
Ach so, das kommt jetzt als nächstes. Streiche also einfach den vorherigen Schritt.
> [mm] =\lim_{n\to\infty}\mu(\summe_{i=1}^n A_i')=\lim_{n\to\infty}\summe_{i=1}^n\mu(A_i')=\summe_{n\in\IN}\mu(A_n')[/mm]
>
> so müsste es besser sein?
In der Tat.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 06:36 Mo 28.10.2013 | | Autor: | D.Luigi |
| Aufgabe | a) $ [mm] \mu [/mm] $ ist Prämaß $ [mm] \forall A_{1}, A_{2},... \in \mathcal{R} [/mm] $ paarw.disj.: $ [mm] \sum_{i\in\IN}Ai \in\mathcal{R} \Rightarrow \mu(\sum^{\infty}_{i=1}A_i) [/mm] $ = $ [mm] \sum^{\infty}_{i=1}\mu(A_i) [/mm] $
=>
c) $ [mm] \forall C_{1}, C_{2},... \in \mathcal{R}, [/mm] $ antiton (mit $ [mm] C_i \supseteq C_{i+1})$: [/mm] $ [mm] \bigcap_{n \in \IN}$$C_{n} \in \mathcal{R}$ \mbox{ \underline{und} } [/mm] $ [mm] \mu(C_{i}) [/mm] < [mm] \infty \Rightarrow \lim_{n \rightarrow \infty} \mu (C_{n})=\mu$ $(\bigcap_{n \in \IN}C_{n}). [/mm] $ |
Es gilt a)... zu zeigen ist c)
Sei [mm] (C_n)_{n\in\IN} [/mm] eine antitone Mengenfolge mit [mm] C_n\supseteq C_{n+1} [/mm] für alle [mm] C_1, C_2,... \in\mathcal{R} [/mm] und [mm] \bigcap_{i=1}^\infty C_i \in\mathcal{R},
[/mm]
so gilt für eine beliebige Folge $ [mm] (A_n)_{n\in\IN} [/mm] $ von paarweise disjunkter Elemente $ [mm] A_i\in\mathal{R} [/mm] $ , zB.: $ [mm] A_i [/mm] = [mm] C_i \setminus C_{i+1}$ [/mm] ,
welche wegen der Antitonie aller [mm] C_n [/mm] disjunkt sind,
mit $ [mm] \sum^\infty_{i=1}A_i\in\mathcal{R} [/mm] $ und Benutzung der Bedingungen von a):
$ [mm] \mu (\bigcap_{n \in \IN} C_n) [/mm] = [mm] \mu(\bigcup^\IN_{i=n}A_i) [/mm] = [mm] \mu(\underbrace{\bigcup_{n\in\IN}A_n \cap \bigcup^\IN_{i=n}A_i}_{\cap C_{n}=C_i=A_n\cap \overline{A_{i-1}}}) [/mm] = [mm] \mu (\underbrace{\sum_{n\in\IN}A_n}_{A_n = disj.} \setminus \sum^{n-1}_{i=1}^\IN A_i [/mm] ) = [mm] \sum_{n\in\IN}\mu(A_n) [/mm] - [mm] \underbrace{\sum^{n-1}_{i=1}\mu(A_i)}_{= (\bigcup^{\IN}_{i=n}A_i)^c} [/mm] = [mm] \lim_{n\to\infty}\sum^{\IN}_{i=n}\mu(A_i) [/mm] = [mm] \lim_{n\to\infty}\mu(\underbrace{\sum_{i=n}^\IN A_i}_{= C_n}) [/mm] = [mm] \lim_{n \rightarrow \infty} \mu (C_{n}) [/mm] $
das hat mir einiges Kopfzerbrechen bereitet...gibt es nen eleganteren Weg?
Mir kam dieser Weg nur durch [mm] A_n [/mm] = [mm] C_n\setminus C_{n+1} [/mm] = [mm] C_n\cap\overline{C_{n+1}} [/mm] in den Sinn...da steckt ein bisschen [mm] \bigcap_{n=...}C_n [/mm] drinn
Gruß
LuD
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:21 Mo 28.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
> a) [mm]\mu[/mm] ist Prämaß [mm]\forall A_{1}, A_{2},... \in \mathcal{R}[/mm]
> paarw.disj.: [mm]\sum_{i\in\IN}Ai \in\mathcal{R} \Rightarrow \mu(\sum^{\infty}_{i=1}A_i)[/mm]
> = [mm]\sum^{\infty}_{i=1}\mu(A_i)[/mm]
> =>
> c) [mm]\forall C_{1}, C_{2},... \in \mathcal{R},[/mm] antiton (mit
> [mm]C_i \supseteq C_{i+1})[/mm]: [mm]\bigcap_{n \in \IN}[/mm][mm]C_{n} \in \mathcal{R}[/mm]
> [mm]\mbox{ \underline{und} }[/mm] [mm]\mu(C_{i}) < \infty \Rightarrow \lim_{n \rightarrow \infty} \mu (C_{n})=\mu[/mm]
> [mm](\bigcap_{n \in \IN}C_{n}).[/mm]
>
> Es gilt a)... zu zeigen ist c)
>
> Sei [mm](C_n)_{n\in\IN}[/mm] eine antitone Mengenfolge mit
> [mm]C_n\supseteq C_{n+1}[/mm] für alle [mm]C_1, C_2,... \in\mathcal{R}[/mm]
> und [mm]\bigcap_{i=1}^\infty C_i \in\mathcal{R},[/mm]
Genau, das ist zu betrachten.
> so gilt für
> eine beliebige Folge [mm](A_n)_{n\in\IN}[/mm] von paarweise
> disjunkter Elemente [mm]A_i\in\mathal{R}[/mm] , zB.: [mm]A_i = C_i \setminus C_{i+1}[/mm]
Es geht nicht um eine beliebige Folge [mm](A_n)_{n\in\IN}[/mm], sondern um die Folge [mm](A_n)_{n\in\IN}[/mm] mit [mm]A_i:=C_i\setminus C_{i+1}[/mm] für alle [mm]i\in\IN[/mm].
> welche wegen der Antitonie
> aller [mm]C_n[/mm] disjunkt sind,
Ja.
> mit [mm]\sum^\infty_{i=1}A_i\in\mathcal{R}[/mm]
Warum gilt [mm]\sum_{i=1}^\infty A_i\in\mathcal{R}[/mm]?
> und Benutzung der
> Bedingungen von a):
>
> [mm]\mu (\bigcap_{n \in \IN} C_n) = \mu(\bigcup^\IN_{i=n}A_i)[/mm]
Was meinst du mit [mm]\bigcup_{i=n}^\IN A_i[/mm]? Vielleicht [mm]\bigcup_{i=n}^\infty A_i[/mm]?
Welches [mm]n[/mm] meinst du hier?
Es gibt kein Element [mm]\omega\in\bigcap_{n\in\IN}C_n[/mm], was auch [mm]\omega\in A_i[/mm] für irgendein [mm]i\in\IN[/mm] erfüllt.
> [mm]= \mu(\underbrace{\bigcup_{n\in\IN}A_n \cap \bigcup^\IN_{i=n}A_i}_{\cap C_{n}=C_i=A_n\cap \overline{A_{i-1}}})[/mm]
Für welche [mm]n[/mm] möchtest du [mm]C_n[/mm] schneiden?
Du meinst dann [mm]C_i=A_i\cap\overline{A_{i-1}}[/mm] (für [mm]i\ge 2[/mm])?
Das stimmt i.A. nicht.
> [mm]= \mu (\underbrace{\sum_{n\in\IN}A_n}_{A_n = disj.} \setminus \sum^{n-1}_{i=1}^\IN A_i )= \sum_{n\in\IN}\mu(A_n) - \underbrace{\sum^{n-1}_{i=1}\mu(A_i)}_{= (\bigcup^{\IN}_{i=n}A_i)^c}[/mm]
Hier geht ein, dass [mm]\mu[/mm] ein Prämaß ist und wegen [mm]A_i\subseteq C_i\subseteq C_1[/mm] die Ungleichungskette [mm]\mu(A_i)\le\mu(C_1)<\infty[/mm] gilt.
[mm]\sum^{n-1}_{i=1}\mu(A_i)= (\bigcup^{\IN}_{i=n}A_i)^c[/mm] ist schon deshalb falsch, weil links eine Zahl steht und rechts eine Menge.
> [mm]= \lim_{n\to\infty}\sum^{\IN}_{i=n}\mu(A_i)[/mm]
Wo kommt auf einmal der Limes her?
> [mm]= \lim_{n\to\infty}\mu(\underbrace{\sum_{i=n}^\IN A_i}_{= C_n}) = \lim_{n \rightarrow \infty} \mu (C_{n})[/mm]
Dies linke Gleichheitszeichen stimmt wegen der Prämaß-Eigenschaft von [mm]\mu[/mm].
Es gilt jedoch i.A. nicht [mm] $C_n=\sum_{i=n}^\infty A_i$.
[/mm]
> das hat mir einiges Kopfzerbrechen bereitet...gibt es nen
> eleganteren Weg?
Ja: Zeige [mm]b)\Rightarrow c)[/mm].
(Zwar könnte man deinen Weg vermutlich retten, aber nutzen wir doch gleich den eleganteren Weg.)
Wir starten wie oben:
Es gilt b)... zu zeigen ist c)
>
> Sei [mm](C_n)_{n\in\IN}[/mm] eine antitone Mengenfolge mit
> [mm]C_n\supseteq C_{n+1}[/mm] für alle [mm]C_1, C_2,... \in\mathcal{R}[/mm]
> und [mm]\bigcap_{i=1}^\infty C_i \in\mathcal{R},[/mm]
Betrachte nun [mm]B_n:=\overline{C_n}[/mm] für alle [mm]n\in\IN[/mm].
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:58 Mo 28.10.2013 | | Autor: | D.Luigi |
> Zeige $ [mm] b)\Rightarrow [/mm] c) $.
> (Zwar könnte man deinen Weg vermutlich retten, aber nutzen wir doch gleich den eleganteren Weg.)
Ich bin mir nicht sicher ob das die Aufgabenstellung verfehlt, aber bewiesen ist es schon also kanns los gehen :)
Wir starten wie oben:
Es gilt b)... zu zeigen ist c)
Sei $ [mm] (C_n)_{n\in\IN} [/mm] $ eine antitone Mengenfolge mit $ [mm] C_n\supseteq C_{n+1} [/mm] $ für alle $ [mm] C_1, C_2,... \in\mathcal{R} [/mm] $ und $ [mm] \bigcap_{i=1}^\infty C_i \in\mathcal{R}, [/mm] $
So gilt für die Folge $ [mm] B_n:=\overline{C_n} [/mm] $ für alle $ [mm] n\in\IN [/mm] $ von Elementen $ [mm] B_i\in\mathcal{R} [/mm] $ mit $ [mm] \bigcup_{n\in\IN}B_n\in\mathcal{R} [/mm] $
.
Die isotonie ist durch das Komplement einer antitonen Folge [mm] \overline{C_n} [/mm] ist klar.
Mit Benutzung der Bedingung von b) erhält man:
[mm] \mu(\bigcap_{n\in\IN}C_n)=\mu(\bigcap_{n\in\IN}\overline{B_n}) [/mm] = [mm] \mu(\bigcup_{n \in \IN} B_{n}) [/mm] = ... [mm] =\limes_{n\rightarrow\infty}\mu(B_{n})=... =\limes_{n\rightarrow\infty}\mu(C_{n})
[/mm]
mir ist nicht klar worauf das hinausläuft (und ob es einfacher ist?!)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:57 Mo 28.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
Sorry, ich war mit meinem Tipp auf einem falschen Dampfer...
Er funktioniert nur, wenn [mm]\Omega\in\mathcal{R}[/mm] und [mm]\mu(\Omega)<\infty[/mm] gilt.
Dadurch wird der Nachweis von [mm]b)\Rightarrow c)[/mm] jetzt nicht viel einfacher als der Nachweis von [mm]a)\Rightarrow c)[/mm].
> > Zeige [mm]b)\Rightarrow c) [/mm].
> Ich bin mir nicht sicher ob das die Aufgabenstellung
> verfehlt, aber bewiesen ist es schon also kanns los gehen
> :)
![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]") Die Aufgabenstellung lautet doch, [mm]a)\Leftrightarrow b)\Rightarrow c)\Leftrightarrow d)[/mm] zu zeigen?!
> Wir starten wie oben:
> Es gilt b)... zu zeigen ist c)
>
> Sei [mm](C_n)_{n\in\IN}[/mm] eine antitone Mengenfolge mit
> [mm]C_n\supseteq C_{n+1}[/mm] für alle [mm]C_1, C_2,... \in\mathcal{R}[/mm]
> und [mm]\bigcap_{i=1}^\infty C_i \in\mathcal{R},[/mm]
>
> So gilt für die Folge [mm]B_n:=\overline{C_n}[/mm] für alle
> [mm]n\in\IN[/mm] von Elementen [mm]B_i\in\mathcal{R}[/mm]
Leider muss schon [mm]B_i\in\mathcal{R}[/mm] nicht gelten (mein Fehler).
> mit
> [mm]\bigcup_{n\in\IN}B_n\in\mathcal{R}[/mm]
> .
> Die isotonie ist durch das Komplement einer antitonen Folge
> [mm]\overline{C_n}[/mm] ist klar.
Ja.
> Mit Benutzung der Bedingung von b) erhält man:
>
> [mm]\mu(\bigcap_{n\in\IN}C_n)=\mu(\bigcap_{n\in\IN}\overline{B_n})[/mm]
> = [mm]\mu(\bigcup_{n \in \IN} B_{n})[/mm]
Es ist [mm]\bigcap_{n\in\IN}\overline{B_n}=\overline{\bigcup_{n\in\IN}B_n}[/mm], i.A. nicht [mm]\bigcap_{n\in\IN}\overline{B_n}=\bigcup_{n\in\IN}B_n[/mm].
> = ...
> [mm]=\limes_{n\rightarrow\infty}\mu(B_{n})=... =\limes_{n\rightarrow\infty}\mu(C_{n})[/mm]
>
> mir ist nicht klar worauf das hinausläuft (und ob es
> einfacher ist?!)
Neuer Versuch von mir:
Betrachte stattdessen [mm]B_n:=C_1\setminus C_n\in\mathcal{R}[/mm].
Da [mm]C_n\subseteq C_1[/mm] und [mm]\mu(C_n)<\infty[/mm] gilt und [mm]\mu[/mm] ein Inhalt ist, folgt [mm]\mu(B_n)=\mu(C_1)-\mu(C_n)[/mm].
(Kennt ihr diese Regel aus der Vorlesung?)
Da die Folge der [mm]C_n[/mm] antiton ist, ist die Folge der [mm]B_n[/mm] isoton.
Es gilt [mm]\bigcup_{n\in\IN}B_n=C_1\setminus\bigcap_{n\in\IN}C_n\in\mathcal{R}[/mm].
Was liefert also b) für eine Aussage über die [mm]B_n[/mm]?
Rechne dann nacheinander auf beiden Seiten der aus b) erhaltenen Gleichheit los, bis du sie in eine Aussage über die [mm]C_n[/mm] überführt hast.
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