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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:11 Do 06.10.2005 | | Autor: | kuno |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Also mal so ne Frage:
Was ist genau der Unterschied zwischen rechtsseitig stetig und von oben halbstetig???
Ich danke für eure Hilfe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:16 Do 06.10.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo Kuno.
Ich beschränke mich im Folgenden auf reelle Funktionen [mm] $f:\IR\to\IR$, [/mm] die Begriffsbildung für reellwertige Abbildungen [mm] $f:X\to\IR$ [/mm] aus topologischen Räumen $X$ ist dieselbe.
Wir sagen, die Funktion [mm] $f:\IR\to\IR$ [/mm] sei in [mm] $x_0\in\IR$ [/mm] rechtsseitig stetig, wenn die Einschränkung von $f$ auf [mm] $[x_0,\infty[$ [/mm] stetig ist, wenn also zu jedem [mm] $\epsilon\in\IR_+$ [/mm] ein [mm] $\delta\in\IR_+$ [/mm] so existiert, dass für alle [mm] $x\in [x_0,x_0+\delta]$ [/mm] stets [mm] $\vert f(x)-f(x_0)\vert<\epsilon$ [/mm] gilt. Ein Beispiel: die Funktion [mm] $f:\IR\to\IR$ [/mm] mit $f(x)=0$ für alle $x<0$ und $f(x)=1$ für alle [mm] $x\geq [/mm] 0$ ist in $0$ rechtsseitig stetig. Du siehst bereits: du kannst von rechtsseitiger Stetigkeit nicht auf allgemeine Stetigkeit schließen. Jedoch ist eine Funktion dann und dann in [mm] $x_0$ [/mm] (beidseitig) stetig, wenn sie in [mm] $x_0$ [/mm] sowohl links- als auch rechtsseitig stetig ist. In diesem Falle ist $f$ in $0$ nicht linksseitig stetig, d.h. auch nicht beidseitig stetig.
Nun zum zweiten Stetigkeitsbegriff: der Halbstetigkeit nach oben. Wir sagen, die Abbildung [mm] $f:\IR\to\IR$ [/mm] sei in [mm] $x_0\in \IR$ [/mm] halbstetig nach oben, wenn es zu jedem [mm] $\epsilon\in\IR_+$ [/mm] ein [mm] $\delta\in\IR_+$ [/mm] so gibt, dass für alle [mm] $x\in (x_0-\delta,x_0+\delta)$ [/mm] stets [mm] $f(x)\in ]-\infty,f(x_0)+\epsilon]$, [/mm] d.h. [mm] $f(x)
Unter links- bzw. rechtsseitiger Stetigkeit versteht man also die (übliche) Stetigkeit einer Einschränkung der zu betrachtenden Funktion, der Begriff der Halbstetigkeit nach oben bzw. unten entspricht der Stetigkeit bzgl. der Funktion in die topologischen Räume [mm] $(\IR,{\cal O}_1)$ [/mm] bzw. [mm] $(\IR,{\cal O}_2)$ [/mm] mit [mm] ${\cal O}_1 [/mm] := [mm] \{]-\infty,a]\vert a\in\IR\}$ [/mm] und [mm] ${\cal O}_2:=\{[a,\infty[\vert a\in\IR\}$.
[/mm]
Ich hoffe ich konnte dir helfen.
Liebe Grüße,
Hanno
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:44 Do 06.10.2005 | | Autor: | Stefan |
Lieber Hanno!
> Nun zum zweiten Stetigkeitsbegriff: der Halbstetigkeit nach
> oben. Wir sagen, die Abbildung [mm]f:\IR\to\IR[/mm] sei in [mm]x_0\in \IR[/mm]
> halbstetig nach oben, wenn es zu jedem [mm]\epsilon\in\IR_+[/mm] ein
> [mm]\delta\in\IR_+[/mm] so gibt, dass für alle [mm]x\in (x_0-\delta,x_0+\delta)[/mm]
> stets [mm]f(x)\in ]-\infty,f(x_0)+\epsilon][/mm], d.h.
> [mm]f(x)
> halbstetigkeit nach unten. Eine Funktion ist nun offenbar
> genau dann in einem Punkte stetig, wenn sie in diesem
> sowohl nach oben als auch nach unten halbstetig ist. Ein
> Beispiel: betrachten wir [mm]f:\IR\to\IR[/mm] mit [mm]f(x)=0[/mm] für [mm]x\in\IQ[/mm]
> und [mm]f(x)=1[/mm] für [mm]x\in\IR\setminus\IQ[/mm]. Dann ist [mm]f[/mm] in allen
> rationalen Punkten nach oben, in allen irrationalen Punkten
> nach unten halbstetig.
Muss es nicht genau andersherum sein? Oder träume ich gerade wieder? 
(Mal was anderes: Ich fahre jetzt gleich erst einmal ins Krankenhaus zu Sandra, komme aber heute abend noch nach Hause (ach, nee  ) und stelle dann noch die neuen Aufgaben. Es lohnt sich also wachzubleiben... )
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:46 Do 06.10.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo Stefan!
Ja, wenn sich das "genau andersrum" lediglich auf das Beispiel bezog, dann ja. Ich habe mich vertan, in den Punkten, die auf 1 abgebildet werden, spricht alle irrationalen Punkte, ist $f$ nach oben halbstetig.
Danke!
Liebe Grüße,
Hanno
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:49 Do 06.10.2005 | | Autor: | Stefan |
Lieber Hanno!
Ja, ich meinte nur das Beispiel.
Super, dann bin ich beruhigt, dass ich es verstanden habe.
Liebe Grüße
Stefan
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