Stetigkeit zeigen < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:45 Sa 30.11.2013 | | Autor: | barneyc |
| Aufgabe | Die Funktion f : [mm] \IQ \to \IR [/mm] werde definiert durch
f(n) = 0, für [mm] n<\wurzel{2}
[/mm]
f(n) = 1, für [mm] n>\wurzel{2}
[/mm]
Zeigen Sie, dass f auf ganz [mm] \IQ [/mm] stetig ist.
Sorry, das Formelsystem funktioniert bei Fallunterscheidungen irgendwie nicht. |
Hallo,
habe ein kleines Verständnisproblem bei vorliegender Aufgabe.
Es ist klar, dass der "linke" und "rechte" Teil der Funktion stetig sind, da beide nur konstante Funktionen sind.
Weiterhin hat die Funktion eine Definitionslücke für [mm] \wurzel{2}, [/mm] da [mm] \wurzel{2} \not\in \IQ [/mm] wenn ich das richtig verstehe.
Der linksseitige Grenzwert ist 0 und der rechtsseitige 1. Die Funktion muss doch einen Sprung machen, wie soll sie sonst von 0 nach 1 kommen?!
Wo liegt mein Denkfehler?
Vielen Dank im Voraus
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Hallo barneyc,
das ist ein beliebtes Täuschungsmanöver. 
> Die Funktion f : [mm]\IQ \to \IR[/mm] werde definiert durch
>
> f(n) = 0, für [mm]n<\wurzel{2}[/mm]
> f(n) = 1, für [mm]n>\wurzel{2}[/mm]
>
> Zeigen Sie, dass f auf ganz [mm]\IQ[/mm] stetig ist.
>
> Sorry, das Formelsystem funktioniert bei
> Fallunterscheidungen irgendwie nicht.
Kommt drauf an, was man so eingibt. Klick mal auf die folgende Darstellung:
[mm] f(n)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } n<\wurzel{2} \\ 1, & \mbox{für } n>\wurzel{2} \end{cases}
[/mm]
> Hallo,
>
> habe ein kleines Verständnisproblem bei vorliegender
> Aufgabe.
>
> Es ist klar, dass der "linke" und "rechte" Teil der
> Funktion stetig sind, da beide nur konstante Funktionen
> sind.
Kleiner Zwischenruf: wenn die Funktion (wie vorliegend) nur auf [mm] \IQ [/mm] definiert ist, dann wäre sie auf [mm] \IR [/mm] trotzdem auf beiden Seiten nirgends stetig.
> Weiterhin hat die Funktion eine Definitionslücke für
> [mm]\wurzel{2},[/mm] da [mm]\wurzel{2} \not\in \IQ[/mm] wenn ich das richtig
> verstehe.
Genau, und deswegen hat sie eben keine Definitionslücke. Sie ist auf ganz [mm] \IQ [/mm] definiert.
> Der linksseitige Grenzwert ist 0 und der rechtsseitige 1.
> Die Funktion muss doch einen Sprung machen, wie soll sie
> sonst von 0 nach 1 kommen?!
>
> Wo liegt mein Denkfehler?
Der "Sprung" liegt aber bei [mm] \wurzel{2}\not\in\IQ.
[/mm]
Wenn Du das übliche Stetigkeitskriterium anwendest, also gleicher links- und rechtsseitiger Grenzwert, dann hängt Dein Ergebnis davon ab, ob das folgende [mm] x\in\IQ [/mm] oder [mm] x\in\IR [/mm] angesetzt wird:
[mm] \lim_{n\to\uparrow x}f(n)\stackrel{?}{=}\lim_{n\to\downarrow x}f(n)
[/mm]
Für jedes [mm] x\in\IQ [/mm] ist die Gleichung erfüllt, daher ist die Funktion also auf ganz [mm] \IQ [/mm] stetig.
Nur für ein einziges [mm] x\in\IR, [/mm] nämlich [mm] x=\wurzel{2}, [/mm] ist die Gleichung nicht erfüllt, aber das hat keine Bedeutung, solange die Funktion nur auf [mm] \IQ [/mm] definiert ist.
Klarer?
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:54 Sa 30.11.2013 | | Autor: | barneyc |
Hallo reverend,
vielen Dank für deine schnelle Antwort.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Kann ich mir das ganze wie im obigen Bild vorstellen und ist die Funktion demnach stetig?
Was ich nicht verstanden habe ist:
"Kleiner Zwischenruf: wenn die Funktion (wie vorliegend) nur auf $ [mm] \IQ [/mm] $ definiert ist, dann wäre sie auf $ [mm] \IR [/mm] $ trotzdem auf beiden Seiten nirgends stetig."
Mich stört der Übergang.
f "nimmt" Elemente aus [mm] \IQ [/mm] und bildet sie auf Elemente aus [mm] \IR [/mm] ab, also 0 und 1, oder?
Des weiteren verstehe ich dann auch nicht wieso es davon abhängt ob ich nun $ [mm] x\in\IQ [/mm] $ oder $ [mm] x\in\IR [/mm] $ für besagten Ansatz zur Prüfung der Stetigkeit verwende:
$ [mm] \lim_{n\to\uparrow x}f(n)\stackrel{?}{=}\lim_{n\to\downarrow x}f(n) [/mm] $
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: PNG) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:42 Sa 30.11.2013 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
> [Dateianhang nicht öffentlich]
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> Kann ich mir das ganze wie im obigen Bild vorstellen und
> ist die Funktion demnach stetig?
Ja, so kannst du dir die Abbildung vorstellen, aber das sagt dir über die Stetigkeit ohne Angaben der Achsen nichts aus.
>
>
>
> Was ich nicht verstanden habe ist:
>
> "Kleiner Zwischenruf: wenn die Funktion (wie vorliegend)
> nur auf [mm]\IQ[/mm] definiert ist, dann wäre sie auf [mm]\IR[/mm] trotzdem
> auf beiden Seiten nirgends stetig."
>
> Mich stört der Übergang.
> f "nimmt" Elemente aus [mm]\IQ[/mm] und bildet sie auf Elemente aus
> [mm]\IR[/mm] ab, also 0 und 1, oder?
Der Wertebereich der Funktion spielt für die Stetigkeit keine Rolle. Du kannst dir genauso deine Abbildung [mm] f:\IQ\longrightarrow \IN_0 [/mm] oder [mm] f:\IQ\longrightarrow \IC [/mm] angucken.
Das Ergenis bleibt gleich, aber wenn du den Definitionsbereich änderst, dann siehst es anders aus!
>
> Des weiteren verstehe ich dann auch nicht wieso es davon
> abhängt ob ich nun [mm]x\in\IQ[/mm] oder [mm]x\in\IR[/mm] für besagten
Guck dir nochmal die Definition der Stetigkeit einer reellwertigen Abbildung an!
Sei [mm] D\subset\IR [/mm] und die Abbildung [mm] f:D\longrightarrow \IR [/mm] gegeben.
Wir haben die Folgen- btw. die [mm] \epsilon-\delta [/mm] Stetigkeit. Diese sind äquivalent, sodass ich dir das einfach nur an der [mm] \epsilon-\delta [/mm] Definition zeige.
Analog kannst du es dir für die Folgenstetigkeit ergänzen.
f heißt stetig in [mm] x_0\in [/mm] D, falls für alle [mm] \epsilon>0 [/mm] ein [mm] \delta>0 [/mm] derart existiert, sodass: [mm] |f(x)-f(x_0)|<\epsilon [/mm] für alle [mm] x\in [/mm] D mit [mm] |x-x_0|<\delta.
[/mm]
Jetzt kommt der Knackpunkt!
Ist f in jedem Punkt [mm] x_0 [/mm] von D stetig, so heißt f stetig.
Das ist auch der Knackpunkt wenn du dir die Abbildung [mm] h(x)=\frac{1}{x} [/mm] anguckst. Wieso ist nun h stetig?
> Ansatz zur Prüfung der Stetigkeit verwende:
>
> [mm]\lim_{n\to\uparrow x}f(n)\stackrel{?}{=}\lim_{n\to\downarrow x}f(n)[/mm]
>
>
>
Gruß
DieAcht
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