Stetigkeit zeigen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt: http://www.onlinemathe.de/read.php?topicid=1000004739&read=1&kat=Studium
Hallo mal wieder! Erstmal ein Danke an die Leute die mir letztes mal schon weitergeholfen haben (ich hoffe nur dass es auch was gebracht hat)  .
Ok, also angenommen $f$ sei ein stetige Funktion, nun soll ich zeigen dass $cf$ auch weiterhin stetig ist, wobei gilt: $c > 0$. Ich soll nur eine Abschätzung für das [mm] $\delta$ [/mm] machen, für ein beliebiges [mm] $\epsilon$. [/mm] Nun hängt [mm] $\delta$ [/mm] ja von [mm] $\epsilon$ [/mm] ab und dann muss ich wohl mit der Ungleichung:
[mm] $|cf(x)-cf(x_0)| [/mm] < [mm] \epsilon$ [/mm] anfangen, oder?
Daraus kann ich ja:
$ [mm] |c(f(x)-f(x_0))| [/mm] < [mm] \epsilon$
[/mm]
$ [mm] c|f(x)-f(x_0)| [/mm] < [mm] \epsilon$
[/mm]
und habe dann letztendlich mit Division durch $c$ folgendes:
$ [mm] |f(x)-f(x_0)| [/mm] < [mm] \bruch{\epsilon}{c}$
[/mm]
Wenn das soweit richtig ist, wie wähle ich dann [mm] $\delta$ [/mm] ? :)
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Hallo!
Definiere [mm] $\varepsilon_1:=\bruch{\varepsilon}{c}$. [/mm] Wegen der Stetigkeit von $f$ in [mm] $x_0$ [/mm] gibt es ein [mm] $\delta>0$ [/mm] mit [mm] $\|f(x_0)-f(x)\|<\varepsilon_1$ [/mm] für alle $x$ mit [mm] $\|x-x_0\|<\delta$.
[/mm]
Sei nun weiter [mm] $\|x-x_0\|<\delta$. [/mm] Dann folgt für [mm] $cf(x_0)$:
[/mm]
[mm] $\|cf(x)-cf(x_0)\|=c\|f(x)-f(x_0)\|
Bringt dich das weiter?
Gruß, banachella
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