Stetigkeit zeigen < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Seien [mm] f:[a,b]\mapsto\IR g:[b,c]\mapsto\IR [/mm] stetige Funktionen, wobei $a < b < c$ . Definiere [mm] h:[a,c]\mapsto\IR [/mm] durch:
[mm] h(x)=\begin{cases} g(x), & \mbox{für } b
Zeigen Sie: Gendau dann ist h stetig , wenn f (b) = g(b) |
Aller Anfang ist schwer , wie auch hier - also wie beginnt man am besten:
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:46 Do 01.05.2008 | | Autor: | pelzig |
> also wie beginnt man am besten:
Ja ganz einfach. Schau dir die Defintionen an und überlege dir, was du eigentlich zeigen musst.
Es genügt ja zu zeigen, dass $h(x)$ an der Stelle b stetig ist genau dann, wenn $f(b)=g(b)$ (warum?).
Du musst dabei sowohl Hin- als auch Rückrichtung beweisen. Benutze dafür die Definition von Stetigkeit.
Am leichtesten geht es sicherlich mit der Definition [mm] $f(x)\text{ stetig in }x_0\gdw\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$, [/mm] aber ich weiß ja nicht ob du die benutzen darfst.
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So wirklich hilft mi das aber auch nicht :-(
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:06 Fr 02.05.2008 | | Autor: | max3000 |
Wie bereits gesagt, zeige die Stetigkeit im Punkt b.
Und zwar machst du das mit der Definition:
[mm] \forall\epsilon>0 \exists\delta>0 [/mm] mit [mm] d(x,b)<\delta: e(h(x),h(b))<\epsilon.
[/mm]
Da [mm] e(h(x),h(b))\le\max\{e(f(x),h(b)) , e(g(x),g(b))\}
[/mm]
und für f und g bereits jeweils ein [mm] \delta [/mm] existiert mit
[mm] e(f(x),f(b))<\delta_1 [/mm] und [mm] e(g(x),g(b))<\delta_2 [/mm]
(folgt aus der Stetigkeit von f und g)
wählen wir einfach [mm] \delta:=\min\{\delta_1,\delta_2\},
[/mm]
womit [mm] e(h(x),h(b))<\epsilon [/mm] immer erfüllt wäre.
Genau so gehts natürlich - wie schon erwähgnt - mit Folgenstetigkeit, indirekt sicherlich auch. Da gibts immer viele Möglichkeiten.
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