Stetigkeit zeigen < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | An welchen Stellen ist die Funktion [mm]f:\IR\rightarrow\IR[/mm] definiert durch
[mm]f(x)=\bruch{3x-1}{x^2+1}\mbox{ für }x<2,\ \ \ f(2)=1 \ \ \mbox{ und } \ \ f(x)=\wurzel{x-1}\mbox{ für }x>2[/mm]
stetig bzw. differenzierbar? |
Hallo!
Habe die Aufgabe wie folgt gelöst. Schwierigkeiten macht mir die Sache mit f(2)=1.
Alle Teilstücke sind auf den jeweiligen Definitionsbereichen stetig differenzierbar. Mögliche Unstetigkeitsstelle: x=2
[mm]\bruch{3x-1}{x^2+1}=1\mbox{ für }x\rightarrow2[/mm]
[mm]\wurzel{x-1}=1\mbox{ für }x\rightarrow2[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] stetig auf ganz [mm] \IR.
[/mm]
[mm]\bruch{d}{dx}\bruch{3x-1}{x^2+1}=-\bruch{1}{5}\mbox{ für }x\rightarrow2[/mm]
[mm]\bruch{d}{dx}\wurzel{x-1}=\bruch{1}{2}\mbox{ für }x\rightarrow2[/mm]
Und jetzt würde ich sagen: [mm] \Rightarrow [/mm] differenzierbar auf [mm]\IR/\{2\}[/mm].
Aber stimmt das so? Und was ist mit dem f(2)=1 ? Davon die Ableitung zu "berechnen" macht ja keinen Sinn..!? Aber was wäre wenn die Funktion, würde man f(2)=1 außer acht lassen, stetig wäre. Wäre sie dann auch mit f(2)=1 noch stetig?
Danke für eure Antworten!
Simon
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> An welchen Stellen ist die Funktion [mm]f:\IR\rightarrow\IR[/mm]
> definiert durch
> [mm]f(x)=\bruch{3x-1}{x^2+1}\mbox{ für }x<2,\ \ \ f(2)=1 \ \ \mbox{ und } \ \ f(x)=\wurzel{x-1}\mbox{ für }x>2[/mm]
>
> stetig bzw. differenzierbar?
> Hallo!
> Habe die Aufgabe wie folgt gelöst. Schwierigkeiten macht
> mir die Sache mit f(2)=1.
>
> Alle Teilstücke sind auf den jeweiligen
> Definitionsbereichen stetig differenzierbar. Mögliche
> Unstetigkeitsstelle: x=2
> [mm]\bruch{3x-1}{x^2+1}=1\mbox{ für }x\rightarrow2[/mm]
>
> [mm]\wurzel{x-1}=1\mbox{ für }x\rightarrow2[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm]
> stetig auf ganz [mm]\IR.[/mm]
Hallo,
ja.
>
> [mm]\bruch{d}{dx}\bruch{3x-1}{x^2+1}=-\bruch{1}{5}\mbox{ für }x\rightarrow2[/mm]
>
> [mm]\bruch{d}{dx}\wurzel{x-1}=\bruch{1}{2}\mbox{ für }x\rightarrow2[/mm]
>
> Und jetzt würde ich sagen: [mm]\Rightarrow[/mm] differenzierbar auf
> [mm]\IR/\{2\}[/mm].
Nein.
Welches sollte denn die Ableitung an dieser Stelle sein? [mm] -\bruch{1}{5}? \bruch{1}{2}? [/mm] Der Mittelwert?
(Am Graphen kannst Du so etwas an Spitzen und Knicken erkennen.)
> Aber was
> wäre wenn die Funktion, würde man f(2)=1 außer acht lassen,
> stetig wäre.
Wenn Du die Funktion g auf [mm] \IR \{2\} [/mm] betrachtest, ist sie auch stetig, denn sie ist dann stetig auf ihrem gesamten Definitionsbereich.
[mm] g(x):=\begin{cases} \bruch{3x-1}{x^2+1}\mbox{ für }x<2 \\ \wurzel{x-1}\mbox{ für }x>2\end{cases}
[/mm]
> Wäre sie dann auch mit f(2)=1 noch stetig?
Ja, die Funktion f ist die stetige Fortsetzung v. g.
Gruß v. Angela
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> Nein.
> Welches sollte denn die Ableitung an dieser Stelle sein?
> [mm]-\bruch{1}{5}? \bruch{1}{2}?[/mm] Der Mittelwert?
Aber was ist denn dann die richtige Lösung? Und wieso kann man nicht sagen, dass eine Fkt. auf ihrem ganzen Definitionsbereich differenzierbar ist, außer in x=2?
Ist sie dadurch jetzt gar nicht mehr differenzierbar?
Danke. Simon
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> > Nein.
> > Welches sollte denn die Ableitung an dieser Stelle sein?
> > [mm]-\bruch{1}{5}? \bruch{1}{2}?[/mm] Der Mittelwert?
>
> Aber was ist denn dann die richtige Lösung? Und wieso kann
> man nicht sagen, dass eine Fkt. auf ihrem ganzen
> Definitionsbereich differenzierbar ist, außer in x=2?
Ich habe offensichtlich die Zeile
>>> Und jetzt würde ich sagen: $ [mm] \Rightarrow [/mm] $ differenzierbar auf $ [mm] \IR/\{2\} [/mm] $
übersehen bzw. nur halb gelesen.
> Ist sie dadurch jetzt gar nicht mehr differenzierbar?
Es ist so, wie Du sagst:
f ist überall differenzierbar außer an der Stelle 2.
Also f ist nicht differenzierbar.
Aber die Funktion, die man erhält, wenn man den Definitionsbereich einschränkt (also meine Funktion g), ist differenzierbar.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:14 Do 03.01.2008 | | Autor: | froopkind |
Das lichtet den Nebel vor meinem mathematischen Auge
mal wieder um ein weiteres kleines [mm] \Delta [/mm] Nebel-Stückchen... 
Simon
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