Stetigkeit von Funktionen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:36 Mo 13.05.2013 | | Autor: | marmik |
| Aufgabe | Untersuchen Sie, in welchen Punkten ihres Definitionsbereichs die folgenden Funktionen f und g stetig sind:
(i) [mm] f(x,y)=xsin\bruch{y}{x}, x\not=0 [/mm] bzw. y, x=0
(ii) [mm] g(x,y)=\bruch{x^{3}y}{x^{6}-y^{3}}, y\not=x^{2} [/mm] bzw. 0, [mm] y=x^{2} [/mm] |
Hallo zusammen,
Habe es leider nicht mit der geschweiften Klammer hingekriegt aber ich glaube dass es auch so verständlich ist.
Zu (i) habe ich mir gedacht, dass die Funktion für alle [mm] (x,y)\in\IR^{2} [/mm] abgesehen von (0,y) stetig ist, da sie ja auf diesem Intervall nur eine Zusammensetzung stetiger Funktionen ist. Jetzt müsste ich doch noch zeigen ob die Funktion in (0,y) stetig ist oder? Falls ja dann wüsste ich leider nicht wie man die Stetigkeit bzw Unstetigkeit zeigen kann.
Zu (ii) habe ich mir das so ähnlich gedacht, nur dass ich halt diesmal die Stetigkeit bzw Unstetigkeit in [mm] (x,x^{2}) [/mm] zeigen muss, oder?
Gruß
Marmik
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:48 Mo 13.05.2013 | | Autor: | fred97 |
> Untersuchen Sie, in welchen Punkten ihres
> Definitionsbereichs die folgenden Funktionen f und g stetig
> sind:
> (i) [mm]f(x,y)=xsin\bruch{y}{x}, x\not=0[/mm] bzw. y, x=0
> (ii) [mm]g(x,y)=\bruch{x^{3}y}{x^{6}-y^{3}}, y\not=x^{2}[/mm] bzw.
> 0, [mm]y=x^{2}[/mm]
> Hallo zusammen,
> Habe es leider nicht mit der geschweiften Klammer
> hingekriegt aber ich glaube dass es auch so verständlich
> ist.
>
> Zu (i) habe ich mir gedacht, dass die Funktion für alle
> [mm](x,y)\in\IR^{2}[/mm] abgesehen von (0,y) stetig ist, da sie ja
> auf diesem Intervall nur eine Zusammensetzung stetiger
> Funktionen ist. Jetzt müsste ich doch noch zeigen ob die
> Funktion in (0,y) stetig ist oder?
Ja
> Falls ja dann wüsste
> ich leider nicht wie man die Stetigkeit bzw Unstetigkeit
> zeigen kann.
da nehmen wir uns ein [mm] y_0 [/mm] her und eine Folge [mm] (a_n)=((x_n,y_n)) [/mm] mit
[mm] a_n \to (0,y_0).
[/mm]
Dann haben wir: [mm] x_n \to [/mm] 0 und [mm] y_n \to y_0.
[/mm]
Zeige nun: [mm] f(a_n) \to [/mm] 0 [mm] =f(0,y_0).
[/mm]
Dabei gib aber acht, denn es kann sein , dass [mm] x_n=0 [/mm] ist für manche n .
In diesem Fall ist aber [mm] f(a_n)=0.
[/mm]
Ist [mm] x_n \ne [/mm] 0, so ist [mm] |f(a_n)| \le |x_n|.
[/mm]
Wir haben also:
[mm] |f(a_n)| \le |x_n| [/mm] für alle n.
Jetzt hab ich Dir ja alles vorgemacht ...
FRED
>
> Zu (ii) habe ich mir das so ähnlich gedacht, nur dass ich
> halt diesmal die Stetigkeit bzw Unstetigkeit in [mm](x,x^{2})[/mm]
> zeigen muss, oder?
>
> Gruß
>
> Marmik
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:44 Mo 13.05.2013 | | Autor: | marmik |
Hallo,
Danke für die schnelle Hilfe, aber ich komme damit immer noch nicht so ganz zurecht.
Ich habe jetzt für (i) die Folgen:
[mm] (x)_{n}=\bruch{1}{n} [/mm] und bei [mm] (y)_{n} [/mm] bin ich mir nicht so ganz sicher was ich da (sinnvollerweise) wählen sollte.
Und wenn ich dann [mm] f((x)_{n},(y)_{n}) [/mm] bestimmen will komm ich damit nicht so wirklich klar, weil ich garnicht weiß, wo ich das wie einsetzen soll...
Meine Idee war:
[mm] f(\bruch{1}{n},(y)_{n})=\bruch{1}{n}sin(n(y)_{n}), [/mm] für [mm] x_n\not=0
[/mm]
[mm] f(\bruch{1}{n},(y)_{n})=y_{0}, x_{n}=0
[/mm]
Ich habe keine Ahnung ob das Sinn macht was ich da betrieben habe -.-
Falls ja, was habe ich dann davon?
Gruß
Marmik
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Hallo marmik,
> Hallo,
> Danke für die schnelle Hilfe, aber ich komme damit immer
> noch nicht so ganz zurecht.
>
> Ich habe jetzt für (i) die Folgen:
>
> [mm](x)_{n}=\bruch{1}{n}[/mm] und bei [mm](y)_{n}[/mm] bin ich mir nicht so
> ganz sicher was ich da (sinnvollerweise) wählen sollte.
Du darfst keine speziellen Folgen wählen. Nimm eine beliebige Folge [mm](x_n,y_n)[/mm], die gegen [mm](0,y_0)[/mm] konvergiert - siehe Freds post.
Schaue nochmal genau in die Aussage über die Folgenstetigkeit ...
Wie das geht, hat Fred ja schon fast komplett hingeschrieben.
Schaue dir das nochmal in Ruhe an und formuliere dein Problem präziser ...
>
> Und wenn ich dann [mm]f((x)_{n},(y)_{n})[/mm] bestimmen will komm
> ich damit nicht so wirklich klar, weil ich garnicht weiß,
> wo ich das wie einsetzen soll...
> Meine Idee war:
> [mm]f(\bruch{1}{n},(y)_{n})=\bruch{1}{n}sin(n(y)_{n}),[/mm] für
> [mm]x_n\not=0[/mm]
> [mm]f(\bruch{1}{n},(y)_{n})=y_{0}, x_{n}=0[/mm]
>
> Ich habe keine Ahnung ob das Sinn macht was ich da
> betrieben habe -.-
> Falls ja, was habe ich dann davon?
>
> Gruß
> Marmik
LG
schachuzipus
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