Stetigkeit von Funktionen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:36 Fr 26.11.2004 | | Autor: | luna2804 |
Hallo zusammen,
ich habe mit dieser Aufgabe hier ein gewaltiges Problem,
da ich die letzten beiden Vorlesungen leider nicht besuchen konnte.
Vielleicht kann mir jemand dabei helfen, diese zu lösen, da ich mit den Bücher die ich habe leider nicht vorwärts komme.
Es seien die reellen Zahlen [mm] x_{1}, x_{2}, [/mm] ... , [mm] x_{n} \in \IR [/mm] gegeben,
mit [mm] x_{1} [/mm] < [mm] x_{2} [/mm] < ... < [mm] x_{n} [/mm] .
Betrachte die n Polynome
[mm] L_{j} [/mm] (x) = [mm] \produkt_{k=1 , k\not=}^{n} (x-x_{k})/(x_{j}-x{k})
[/mm]
Sei f: [mm] [x_{1}, x_{2}] \to \IR [/mm] eine stetige Funktion
Das Polynom L(x) sei definiert durch
L(X) := [mm] \summe_{j=1}^{n} f(x_{j})*L_{j}(x)
[/mm]
a) Zeige [mm] L(x_{i})=f(x_{i})
[/mm]
b) Es sei [mm] x_{1}=0, x_{2}=2, x_{3}=3 [/mm] und f(x)= [mm] x^{3}.
[/mm]
Bestimme das Polynom L(x) und verifizieren Sie die Eigenschaft aus a)
Wenn mir jemand weiterhelfen kann, dann bitte ich dringend um Hilfe, da ich den Faden nicht verlieren möchte,
aber im Moment keinen Plan mehr habe.
Vielen Dank
Ach ja, i
ch habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:53 Fr 26.11.2004 | | Autor: | andreas |
hi
zu a) zeige doch erstmal, dass [m] L_i(x_j) = \begin{cases} 1 & \textrm{ wenn } i = j \\0 & \textr{ sonst} \end{cases} [/m] (bei [m]L_i(x) [/m] handelt es sich um die sogenannten lagrange-polynome). wenn du damit nicht weiterkommst probiere ersteinmal die b), wenn du mit konkreten werten rechnest wird dir vielleicht klarer, was hier passiert.
ich hoffe das reicht erstmal, wenn nicth frage nach.
grüße
andreas
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(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 20:56 Mo 29.11.2004 | | Autor: | luna2804 |
Hallo,
danke für den schnellen Hinweis.
Habe das ganze Wochenende an der b) gegrübelt und folgendes produziert:
[mm] x_{1} [/mm] = 0 ; [mm] x_{2} [/mm] = 2 ; [mm] x_{3} [/mm] ; f(x) = [mm] x^{3}
[/mm]
L(x) = [mm] \summe_{j=0}^{3} f(x_{j}) [/mm] * [mm] L(x_{j})
[/mm]
L(x) = [mm] \summe_{j=0}^{3} (x_{j})^{3}* \produkt_{k=1}^{3}(x-x_{k})/(x_{j}-x_{k})
[/mm]
L(x) = [mm] x_{1}^{3}*(x-x_{2}/(x_{1}-x_{2})+x_{2}^{3}*(x-x_{2}/(x_{1}-x_{2})+x_{3}^{3}*(x-x_{2}/(x_{1}-x_{2})
[/mm]
bekomme dann nach dem Einsetzen folgende x- Werte:
[mm] \bruch{1}{2} [/mm] und [mm] \bruch{1}{3}
[/mm]
komme hier dann aber nicht weiter !!!
und bei der Teilaufgabe a) auch nicht.
Vielleicht könnt Ihr mir nochmal weiterhelfen, wäre sehr dankbar dafür,
mit "Gewalt" auf den richtigen Weg gebracht zu werden.
Danke schonmal.
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