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| Aufgabe | Welche der folgenden Funktionen sind nicht stetig auf ihrem maximalen Definitionsbereich? Begründen Sie.
f(x) = [mm] \bruch{1}{x}
[/mm]
f(x) = [mm] \wurzel{x}
[/mm]
f(x) = |x|
f(x) = ln(x) |
Der maximale Definitionsbereich von f(x) = [mm] \bruch{1}{x} [/mm] ist D = [mm] \IR \{0}. [/mm] Muss ich also die Stetigkeit im Punkt x=0 prüfen?
Hab ich einfach mal getan:
[mm] \limes_{x\rightarrow\0+} [/mm] = 1
[mm] \limes_{x\rightarrow\0-} [/mm] = -1
Und da die Grenzwerte nicht identisch sind, ist die Funktion nicht stetig im Punkt x, aber dadurch auch nicht auf ihrem maximalen Definitionsbereich?
[mm] \limes_{x\rightarrow\0+} \wurzel{x} [/mm] = 1
[mm] \limes_{x\rightarrow\0-} \wurzel{x} [/mm] = ? Wurzeln sind für negative Werte ja nicht definiert. Der maximale Definitionsbereich wäre hier ja [mm] [0,\infty)
[/mm]
|x| ist allerdings stetig, da durch den Betrag beide Grenzwerte gleich sind.
ln(x) hat den Definitionsbereich [mm] (0,\infty), [/mm] aber 1 als Nullstelle, weshalb ich dort die Stetigkeit geprüft habe.
[mm] \limes_{x\rightarrow\1+} [/mm] ln(x) = 1
[mm] \limes_{x\rightarrow\1-} [/mm] ln(x) = -1
Oder doch beides =0? Ich dachte, dass das so richtig sei, weil beispielsweise 1,1 ja einen positiven Wert liefert, 0,9 jedoch einen negativen.
Danke :)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:22 Fr 06.02.2015 | | Autor: | chrisno |
> Welche der folgenden Funktionen sind nicht stetig auf ihrem
> maximalen Definitionsbereich? Begründen Sie.
>
> f(x) = [mm]\bruch{1}{x}[/mm]
> f(x) = [mm]\wurzel{x}[/mm]
> f(x) = |x|
> f(x) = ln(x)
> Der maximale Definitionsbereich von f(x) = [mm]\bruch{1}{x}[/mm]
> ist D = [mm]\IR \{0}.[/mm] Muss ich also die Stetigkeit im Punkt x=0
> prüfen?
Quatsch. Die Untersuchung findet nur im maximalen Definitionsbereich statt. Nimm Dir mehr Zeit die Aufgaben zu lesen und zu kontrollieren, ob Deine Formeln richtig rüber kommen. Du schießt hier die Fragen in Serie ab, das geht auf Kosten der Sorgfalt.
> Hab ich einfach mal getan:
> [mm]\limes_{x\rightarrow 0+}[/mm] = 1
> [mm]\limes_{x\rightarrow 0-}[/mm] = -1
Da musste ich erst einmal jeweils die 0 sichtbar machen. Abgesehen davon, dass Dein Ansatz falsch ist, sind auch Deine Grenzwerte völlig falsch.
> Und da die Grenzwerte nicht identisch sind, ist die
> Funktion nicht stetig im Punkt x, aber dadurch auch nicht
> auf ihrem maximalen Definitionsbereich?
Nicht aber, sondern und, falls das vorangehende richtig wäre. Außerdem ist "Punkt x" eine Formulierung, die Du erst mal erklären musst.
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow 0+} \wurzel{x}[/mm] = 1
> [mm]\limes_{x\rightarrow 0-} \wurzel{x}[/mm] = ? Wurzeln sind für
> negative Werte ja nicht definiert.
Also macht es keinen Sinn, irgendwelche Untersuchungen in diesem Bereich anstellen zu wollen.
> Der maximale Definitionsbereich wäre hier ja [mm][0,\infty)[/mm]
Nun kommt die Frage nach der Stetigkeit.
>
> |x| ist allerdings stetig, da durch den Betrag beide
> Grenzwerte gleich sind.
Solche Antworten taugen nichts. Du musst loslegen:
Der maximale Definitionsbereich ist ... (weil ...)
In diesem Defintionsbereich gibt es eine Stelle an der die Funktion nicht stetig ist, weil ...
oder
In diesem Defintiionsbereich gibt es keine Stelle an der die Funktion nicht stetig ist, weil ...
>
> ln(x) hat den Definitionsbereich [mm](0,\infty),[/mm] aber 1 als
> Nullstelle, weshalb ich dort die Stetigkeit geprüft habe.
> [mm]\limes_{x\rightarrow 1+}[/mm] ln(x) = 1
> [mm]\limes_{x\rightarrow 1-}[/mm] ln(x) = -1
> Oder doch beides =0? Ich dachte, dass das so richtig sei,
> weil beispielsweise 1,1 ja einen positiven Wert liefert,
> 0,9 jedoch einen negativen.
Zuerst schau Dir meine Bemerkung zur vorigen Funktion an.
Als Nächstes: was darfst Du über Funktionen und deren Stetigkeit benutzen, um diese Aufgabe zu lösen? Sie erscheint mir etwas merkwürdig.
>
> Danke :)
>
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Hallo,
> Welche der folgenden Funktionen sind nicht stetig auf ihrem
> maximalen Definitionsbereich? Begründen Sie.
>
> f(x) = [mm]\bruch{1}{x}[/mm]
> f(x) = [mm]\wurzel{x}[/mm]
> f(x) = |x|
> f(x) = ln(x)
> Der maximale Definitionsbereich von f(x) = [mm]\bruch{1}{x}[/mm]
> ist D = [mm]\IR \{0}.[/mm] Muss ich also die Stetigkeit im Punkt x=0
> prüfen?
> Hab ich einfach mal getan:
> [mm]\limes_{x\rightarrow\0+}[/mm] = 1
> [mm]\limes_{x\rightarrow\0-}[/mm] = -1
> Und da die Grenzwerte nicht identisch sind, ist die
> Funktion nicht stetig im Punkt x, aber dadurch auch nicht
> auf ihrem maximalen Definitionsbereich?
Das ist doch Unfug!
Was bedeutet Stetigkeit? (schreibe das mal sauber hin).
Gruß Thomas
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\0+} \wurzel{x}[/mm] = 1
> [mm]\limes_{x\rightarrow\0-} \wurzel{x}[/mm] = ? Wurzeln sind für
> negative Werte ja nicht definiert. Der maximale
> Definitionsbereich wäre hier ja [mm][0,\infty)[/mm]
>
> |x| ist allerdings stetig, da durch den Betrag beide
> Grenzwerte gleich sind.
>
> ln(x) hat den Definitionsbereich [mm](0,\infty),[/mm] aber 1 als
> Nullstelle, weshalb ich dort die Stetigkeit geprüft habe.
> [mm]\limes_{x\rightarrow\1+}[/mm] ln(x) = 1
> [mm]\limes_{x\rightarrow\1-}[/mm] ln(x) = -1
> Oder doch beides =0? Ich dachte, dass das so richtig sei,
> weil beispielsweise 1,1 ja einen positiven Wert liefert,
> 0,9 jedoch einen negativen.
>
> Danke :)
>
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