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Hi,
ich versuche die Stetigkeit von [mm] f(x)=x^2 [/mm] mit dem Epsilon-Deltra-Kriterium zu zeigen.
Leider komme ich nicht sehr weit:
ZZ: [mm] |x-x_0|<\delta [/mm] => [mm] |f(x)-f(x_0)<\epsilon
[/mm]
[mm] |x^2-x_0^2|=|(x-x_0)*(x+x_0)|<|\delta*(x+x_0)|=\epsilon
[/mm]
Ich weiß nicht wie ich das [mm] \delta [/mm] setzen soll, da ich so [mm] \delta [/mm] = [mm] \epsilon /(x+x_0) [/mm] erhalte. So viel ich weiß, darf aber kein x im [mm] \delta [/mm] vorkommen.
LG
meinmathe
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Hi,
> Hi,
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> ich versuche die Stetigkeit von [mm]f(x)=x^2[/mm] mit dem
> Epsilon-Deltra-Kriterium zu zeigen.
> Leider komme ich nicht sehr weit:
> ZZ: [mm]|x-x_0|<\delta[/mm] => [mm]|f(x)-f(x_0)<\epsilon[/mm]
>
> [mm]|x^2-x_0^2|=|(x-x_0)*(x+x_0)|<|\delta*(x+x_0)|=\epsilon[/mm]
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> Ich weiß nicht wie ich das [mm]\delta[/mm] setzen soll, da ich so
> [mm]\delta[/mm] = [mm]\epsilon /(x+x_0)[/mm] erhalte. So viel ich weiß, darf
> aber kein x im [mm]\delta[/mm] vorkommen.
nein. du musst [mm] $|x+x_0|$ [/mm] abschaetzen. x stammt ja aus einer umgebung von [mm] x_0 [/mm] deswegen kannst du diesen term gut abschaetzen. Versuch es mal so:
[mm] $|x+x_0|=|x-x_0+x_0+x_0|\le |x-x_0|+|2x_0|$
[/mm]
dabei habe ich die dreiecksungleichung angewendet.
jetzt klar?
gruss
matthias
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:22 Di 25.03.2008 | | Autor: | manmath |
Für den epsilon-delta-Stetigkeitsbeweis hab ich mir folgendes Rezept zurechtgelegt:
1) einsetzen der zu untersuchenden Funktion in
$ [mm] |f(x)-f(x_0)|<\epsilon [/mm] $
2) umformen/abschätzen von $ [mm] |f(x)-f(x_0)|<\epsilon [/mm] $ solange bis eine Form entsteht, die nur noch $ [mm] |x-x_0| [/mm] $ und vielleicht noch [mm] x_{0} [/mm] aber kein "freies x" enthält. Dazu braucht man wohl einige Methoden/Tricks (zB Dreiecksungl., [mm] \delta \le [/mm] 1 setzen usw)
3) $ [mm] |x-x_0| [/mm] $ durch [mm] \delta [/mm] ersetzen und daraus eine Beziehung zwischen [mm] \delta, \varepsilon [/mm] und ggf [mm] x_{0}
[/mm]
Wenn [mm] x_{0} [/mm] nicht vorkommt, ist f gleichmäßig stetig.
Beispiel: f(x)=2x
[mm] 1)|2x_{} [/mm] - [mm] 2x_{0}|<\varepsilon
[/mm]
[mm] 2)|2x_{} [/mm] - [mm] 2x_{0}|= [/mm] 2$ [mm] |x-x_0| [/mm] $ [mm] <\varepsilon
[/mm]
[mm] 3)2\delta [/mm] < [mm] \varepsilon \Rightarrow [/mm] Wenn [mm] \delta [/mm] = [mm] \bruch{\varepsilon}{2} [/mm] (oder auch kleiner)
gewählt wird, sind die beiden Ungleichungen aus der Stetigkeitsdefinition erfüllt.
Als zweites Beispiel versuch ich mal die Aufgabe davor, also f(x)= [mm] x^{2} [/mm] nach Rezept zuende zu rechnen:
2) $ [mm] |x^2-x_0^2|=|(x-x_0)\cdot{}(x+x_0)| [/mm] $
[mm] \le [/mm] $ [mm] |x-x_0||x-x_0| [/mm] + [mm] |x-x_0||2x_{0} [/mm] | [mm] <\varepsilon [/mm] $
mit der Abschätzung von matthias
3)$ [mm] \delta (\delta [/mm] + 2 [mm] |x_{0}|) <\varepsilon [/mm] $
Trick: ich wähle [mm] \delta \le [/mm] 1, das darf ich wohl, weil zu einem vorgegebenen [mm] \varepsilon [/mm] ich nur irgendein [mm] \delta [/mm] finden muss, das zusammen mit dem [mm] \varepsilon [/mm] die beiden Ungleichungen erfüllen muss, und schätze das [mm] \delta [/mm] in der Klammer nach oben ab, also = 1
daraus folgt dann $ [mm] \delta \le \bruch{\varepsilon}{2|x_{0}| + 1} [/mm] $
Jetzt muss man wohl noch dazu sagen, dass ich das [mm] \delta [/mm] als Minimum von 1 und der rechten Seite der Ungleichung nehmen muss (weiß ich aus einer Übung mit einer anderen Aufgabe). Damit lassen sich die beiden Definitionsungleichungen erfüllen.
Kann man das alles so machen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:59 Mi 26.03.2008 | | Autor: | SEcki |
> 2) [mm]|x^2-x_0^2|=|(x-x_0)\cdot{}(x+x_0)|[/mm]
> [mm]\le[/mm] [mm]|x-x_0||x-x_0| + |x-x_0||2x_{0} | <\varepsilon[/mm]
Schreibfehler - [mm]\le|x-x_0|(|x-x_0| + |2x_{0} |) <\varepsilon[/mm]
> daraus folgt dann [mm]\delta \le \bruch{\varepsilon}{2|x_{0}| + 1}[/mm]
>
> Jetzt muss man wohl noch dazu sagen, dass ich das [mm]\delta[/mm]
> als Minimum von 1 und der rechten Seite der Ungleichung
Ja, sehr gut.
> nehmen muss (weiß ich aus einer Übung mit einer anderen
> Aufgabe). Damit lassen sich die beiden
> Definitionsungleichungen erfüllen.
> Kann man das alles so machen?
Ja. (Sehr ähnlich steht das zB auch in Ana 1 von Königsberger - inklusive der Minimumsangabe!)
SEcki
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