Stetigkeit und Cauchyfolgen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:17 Do 13.11.2014 | | Autor: | LGS |
| Aufgabe | Es seien [mm] $(X,d_x)$ [/mm] und [mm] $(Y,d_y)$ [/mm] metrische Räume und $f:X -> Y$ eine Abbidlung.
A) Zeigen sie unter Verwerdung der [mm] $\epsilon-\delta-Definition:$ [/mm] Ist $ f$ gleichmäßig stetig,so bildet $ f$ Cauchy-Folgen in [mm] $(X,d_x)$ [/mm] auf Cauchy-Folgen in [mm] $(Y,d_y)$ [/mm] ab.
B) gilt die in A) genannte Folgerung stets auch dann,wenn $f$ lediglich stetig,aber nicht glm.stetig ist? |
A)
Def. gleichmäßige Stetigkeit
[mm] $\forall \epsilon [/mm] >0 [mm] \exists \delta [/mm] >0 $ mit $ [mm] \forall [/mm] x,y [mm] \in [/mm] X: [mm] d_X(x,y)<\delta \Rightarrow d_Y(f(x),f(y))<\epsilon [/mm] $
def. Cauchy-Folge
[mm] $\forall \epsilon [/mm] >0 [mm] \exists N=N(\epsilon) \in \mathbb [/mm] N $, sodass [mm] $\forall [/mm] n,m [mm] \geq [/mm] N $ gilt [mm] $d(a_n,a_m)<\epsilon \forall [/mm] n,m $
Bew.:
Sei $f:X -> Y $glm.stetig [mm] $\Rightarrow \forall \epsilon [/mm] >0 [mm] \exists \delta [/mm] >0 $ mit [mm] $\forall [/mm] x,y [mm] \in [/mm] X [mm] d_X(x,y)< \delta \Rightarrow d_Y(f(x),f(y))< \epsilon. [/mm] $
Seien nun $ [mm] (x_n)_{n \in \mathbb N} [/mm] $ und [mm] $(x_a)_{a \in \mathbb N} [/mm] $Cauchy-Folgen in $X $. Da nun [mm] $\delta [/mm] >0 $gilt.
[mm] $\forall \delta [/mm] >0 [mm] \exists N=N(\delta) \in \mathbb [/mm] N $, sodass $ [mm] \forall n,m\geq [/mm] N $gilt [mm] $d((x_n),(x_a))<\delta [/mm] $ $ [mm] \forall n,m\geq [/mm] N $. Jedoch existiert jetzt durch die Definition der glm.Stetigkeit für alle [mm] $\epsilon [/mm] >0 $ein [mm] $\delta [/mm] >0 $.
Daraus folgt durch glm.Stetigkeit [mm] $d_y(f(x_n),f(x_a))<\epsilon [/mm] $
So wird durch die glm.Stetigkeit von f jede Cauchy-Folge auf eine Cauchy-Folge abgebildet
Bei der B) glaube ,dass das nicht der Fall ist,aber ich weis keinen Beweis..pardon
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:21 Do 13.11.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Es seien [mm](X,d_x)[/mm] und [mm](Y,d_y)[/mm] metrische Räume und [mm]f:X -> Y[/mm]
> eine Abbidlung.
> A) Zeigen sie unter Verwerdung der
> [mm]\epsilon-\delta-Definition:[/mm] Ist [mm]f[/mm] gleichmäßig stetig,so
> bildet [mm]f[/mm] Cauchy-Folgen in [mm](X,d_x)[/mm] auf Cauchy-Folgen in
> [mm](Y,d_y)[/mm] ab.
>
> B) gilt die in A) genannte Folgerung stets auch dann,wenn [mm]f[/mm]
> lediglich stetig,aber nicht glm.stetig ist?
> A)
>
> Def. gleichmäßige Stetigkeit
>
> [mm]\forall \epsilon >0 \exists \delta >0[/mm] mit [mm]\forall x,y \in X: d_X(x,y)<\delta \Rightarrow d_Y(f(x),f(y))<\epsilon[/mm]
>
> def. Cauchy-Folge
>
> [mm]\forall \epsilon >0 \exists N=N(\epsilon) \in \mathbb N [/mm],
> sodass [mm]\forall n,m \geq N[/mm] gilt [mm]d(a_n,a_m)<\epsilon \forall n,m[/mm]
>
> Bew.:
>
> Sei [mm]f:X -> Y [/mm]glm.stetig [mm]\Rightarrow \forall \epsilon >0 \exists \delta >0 [/mm]
> mit [mm]\forall x,y \in X d_X(x,y)< \delta \Rightarrow d_Y(f(x),f(y))< \epsilon.[/mm]
>
> Seien nun [mm](x_n)_{n \in \mathbb N}[/mm] und [mm](x_a)_{a \in \mathbb N} [/mm]Cauchy-Folgen
> in [mm]X [/mm].
> Da nun [mm]\delta >0 [/mm]gilt.
was soll dieser Satz?
> [mm]\forall \delta >0 \exists N=N(\delta) \in \mathbb N [/mm],
> sodass [mm]\forall n,m\geq N [/mm]gilt [mm]d((x_n),(x_a))<\delta[/mm]
> [mm]\forall n,m\geq N [/mm]. Jedoch existiert jetzt durch die
> Definition der glm.Stetigkeit für alle [mm]\epsilon >0 [/mm]ein
> [mm]\delta >0 [/mm].
>
> Daraus folgt durch glm.Stetigkeit
> [mm]d_y(f(x_n),f(x_a))<\epsilon[/mm]
>
> So wird durch die glm.Stetigkeit von f jede Cauchy-Folge
> auf eine Cauchy-Folge abgebildet
Das ist noch zu sortieren: Sei [mm] $\epsilon [/mm] > [mm] 0\,.$ [/mm] Sei [mm] $\delta [/mm] > 0$ das [mm] $\delta$ [/mm] aus der
glm. Stetigkeit.
(Was Du mit zwei Cauchyfolgen da wolltest, weiß ich auch nicht...)
Sei nun [mm] $(x_n)$ [/mm] Cauchy in [mm] $X\,.$ [/mm] Zu dem [mm] $\delta [/mm] > 0$ (aus der glm. Stetigkeit) gibt
es (wegen der CF-Eigenschaft) ein [mm] $N\,$ [/mm] mit
[mm] $d_X(x_n,x_m) [/mm] < [mm] \delta$ [/mm] für alle $n,m [mm] \ge N\,.$
[/mm]
Aus der glm. Stetigkeit folgt
[mm] $d_Y(f(x_n),f(x_m)) [/mm] < [mm] \epsilon$ [/mm] für alle diese $n,m [mm] \ge N\,.$
[/mm]
Das ist auch schon der Beweis, dass [mm] $(f(x_n))_n$ [/mm] CF in [mm] $Y\,$ [/mm] ist! (Schreib' Dir
vielleicht mal auf, was eigentlich zu zeigen ist!)
> Bei der B) glaube ,dass das nicht der Fall ist,aber ich
> weis keinen Beweis..pardon
Ein Gegenbeispiel reicht: Betrachte $f [mm] \colon [/mm] (0,1] [mm] \to \IR$ [/mm] mit
[mm] $f(x):=1/x\,.$
[/mm]
Die Folge [mm] $(1/n)_n$ [/mm] ist eine Folge in [mm] $(0,1]\,,$ [/mm] die in [mm] $\IR$ [/mm] konvergiert, also ist
sie auch Cauchy.
Was ist aber
[mm] $\left|f(\tfrac{1}{n+1})-f(\tfrac{1}{n})\right|$?
[/mm]
Was bringt Dir diese Erkenntnis?
P.S. Auch kurz ein Argument liefern, warum [mm] $f\,$ [/mm] stetig ist!
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:05 Do 13.11.2014 | | Autor: | LGS |
Hallo :)
$ [mm] f(x):=1/x\,.$
[/mm]
$ [mm] \left|f(\tfrac{1}{n+1})-f(\tfrac{1}{n})\right| [/mm] = | [mm] \frac{1}{\frac{1}{n+1}}-\frac{1}{\frac{1}{n}}\ [/mm] | = 1$
das heißt die cauchy folge ist $ [mm] \frac{1}{(n)}_{n \in \mathbb N}$
[/mm]
mit [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} |\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n}| [/mm] = 0 und
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \left|f(\tfrac{1}{n+1})-f(\tfrac{1}{n})\right| [/mm] = | [mm] \frac{1}{\frac{1}{n+1}}-\frac{1}{\frac{1}{n}}\ [/mm] | = 1
Das heißt 1. die funktion ist nicht gleichmäßig stetig, weil beide Grenzwerte dann identisch hätten sein müssen
und 2. die cauchy-Folge wird nicht auf eine CF abgebildet, weil sonst ein identischer grenzwert raus kommen würde richtig ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:40 Do 13.11.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo :)
>
>
> [mm]f(x):=1/x\,.[/mm]
>
> [mm]\left|f(\tfrac{1}{n+1})-f(\tfrac{1}{n})\right| = | \frac{1}{\frac{1}{n+1}}-\frac{1}{\frac{1}{n}}\ | = 1[/mm]
>
> das heißt die cauchy folge ist [mm]\frac{1}{(n)}_{n \in \mathbb N}[/mm]
nein: [mm] $(\tfrac{1}{n})_{n \in \IN}$ [/mm] ist eine Cauchyfolge! Sowas wie "1/Folge"
kenne ich hier nicht... schreibt man so auch nicht!
> mit [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} |\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n}|= 0[/mm]
Das stimmt zwar, aber wozu ist diese Beobachtung gut?
> und
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \left|f(\tfrac{1}{n+1})-f(\tfrac{1}{n})\right|[/mm]
> = | [mm]\frac{1}{\frac{1}{n+1}}-\frac{1}{\frac{1}{n}}\[/mm] | = 1
>
>
> Das heißt 1. die funktion ist nicht gleichmäßig stetig,
> weil beide Grenzwerte dann identisch hätten sein müssen
Das hat nichts damit zu tun, dass die Grenzwerte (welche denn überhaupt?)
identisch hätten sein müssen. Wir haben gelernt:
Wenn [mm] $f\,$ [/mm] glm. stetig ist, dann gilt für jede Cauchyfolge (CF) des Definitionsbereichs,
dass die Bildfolge auch Cauchy sein muss.
[mm] $(1/n)_n$ [/mm] ist CF. Wäre [mm] $f\,$ [/mm] glm. stetig, so müßte auch
[mm] $(f(1/n))_n$ [/mm] CF
sein. Insbesondere müßte es zu [mm] $\epsilon=1 [/mm] > 0$ ein $N [mm] \in \IN$ [/mm] mit
(*) [mm] $\left|f(\tfrac{1}{m})-f(\tfrac{1}{n})\right| [/mm] < [mm] \epsilon=1$ [/mm] für alle $n,m [mm] \ge [/mm] N$
geben. Für $n [mm] \ge [/mm] N$ ist auch $m:=n+1 [mm] \ge [/mm] N$ und dann aber
[mm] $\left|f(\tfrac{1}{m})-f(\tfrac{1}{n})\right|=\left|f(\tfrac{1}{n+1})-f(\tfrac{1}{n})\right|=1\,.$
[/mm]
Passt das zu (*)?
> und 2. die cauchy-Folge wird nicht auf eine CF abgebildet,
> weil sonst ein identischer grenzwert raus kommen würde
> richtig ?
Cauchyfolgen müssen noch nicht mal konvergieren.... das ist nur in
vollständigen metrischen Räumen der Fall. Wir waren zwar durchaus in
dem vollständigen Raum [mm] $(\IR,d_{|.|})\,,$ [/mm] aber nochmal: Von welchen Grenzwerten
redest Du überhaupt?
P.S. Warum ist das zuletzt genannte [mm] $f\colon [/mm] (0,1] [mm] \to \IR$ [/mm] mit $f(x)=1/x$ (für $0 < x [mm] \le [/mm] 1$)
denn überhaupt stetig?
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:58 Do 13.11.2014 | | Autor: | LGS |
Nein
"Für $ n [mm] \ge [/mm] N $ ist auch $ m:=n+1 [mm] \ge [/mm] N $ und dann aber $ [mm] \left|f(\tfrac{1}{m})-f(\tfrac{1}{n})\right|=\left|f(\tfrac{1}{n+1})-f(\tfrac{1}{n})\right|=1\,. [/mm] $ " passt nicht zu "(*) $ [mm] \left|f(\tfrac{1}{m})-f(\tfrac{1}{n})\right| [/mm] < [mm] \epsilon=1 [/mm] $ für alle $ n,m [mm] \ge [/mm] N $ ", denn dort ist es für alle $ n,m [mm] \ge [/mm] N $ und nicht mit einem $m$ was in Abhängigkeit steht zu $ n$ .
zur stetigkeit. Na ich hätte jetzt die glm.stetig mit Folgekriterium wiederlegt,woraus die stetigkeit folgt,oder ist das eine schlechte idee?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:47 Fr 14.11.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Nein
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> "Für [mm]n \ge N[/mm] ist auch [mm]m:=n+1 \ge N[/mm] und dann aber
> [mm]\left|f(\tfrac{1}{m})-f(\tfrac{1}{n})\right|=\left|f(\tfrac{1}{n+1})-f(\tfrac{1}{n})\right|=1\,.[/mm]
> " passt nicht zu "(*)
> [mm]\left|f(\tfrac{1}{m})-f(\tfrac{1}{n})\right| < \epsilon=1[/mm]
> für alle [mm]n,m \ge N[/mm] ", denn dort ist es für alle [mm]n,m \ge N[/mm]
> und nicht mit einem [mm]m[/mm] was in Abhängigkeit steht zu [mm]n[/mm] .
Du musst lernen, genau das zu formulieren, was Du meinst. Ich werde aus
Deiner Art der Begründung nicht schlau.
Nochmal: Wäre [mm] $(f(1/n))_n$ [/mm] CF, dann gibt es auch zu [mm] $\epsilon=1 [/mm] > 0$ ein $N$ so, dass
$|f(1/m)-f(1/n)| < 1$ für alle $n,m [mm] \ge N\,.$
[/mm]
Für $n [mm] \ge [/mm] N$ ist aber auch $m:=n+1 [mm] \ge N\,,$ [/mm] also muss insbesondere auch
$|f(1/(n+1))-f(1/n)| < 1$
sein. Links steht aber [mm] $1\,,$ [/mm] und jetzt steht da, dass
$1 < [mm] 1\,$
[/mm]
ist. Was ist das wohl?
> zur stetigkeit. Na ich hätte jetzt die glm.stetig mit
> Folgekriterium wiederlegt,woraus die stetigkeit folgt,oder
> ist das eine schlechte idee?
Du widerlegst die glm. Stetigkeit mit dem Folgenkriterium und daraus soll
dann angeblich Stetigkeit folgen? Das ist doch sinnfrei.
Du kannst aber meinetwegen gerne mit dem Folgenkriterium zeigen, dass
die Funktion stetig ist. Es ist dann zu zeigen:
Ist [mm] $x_0 \in (0,1]\,,$ [/mm] so gilt für jede Folge [mm] $(x_n)_n$ [/mm] in $(0,1]$ mit [mm] $x_n \to x_0\,,$ [/mm] dass
[mm] $f(x_n)=1/x_n \to f(x_0)=1/x_0\,\,.$
[/mm]
Na dann: Sei [mm] $x_0 \in [/mm] (0,1]$ beliebig, aber fest. Seien nun [mm] $x_n\,$ [/mm] nur ausgestattet
mit den Eigenschaften
[mm] $x_n \in [/mm] (0,1]$ und so, dass [mm] $x_n \to x_0\,.$
[/mm]
Dann gilt
[mm] $f(x_n)=...$
[/mm]
Jetzt Du!
Gruß,
Marcel
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