Stetigkeit überprüfen < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:38 Sa 16.07.2011 | | Autor: | Fatih17 |
| Aufgabe | Für welche wahl a,b element R ist die Funktion stetig?
f(X)= [mm] 1+x^{2} [/mm] , x [mm] \le [/mm] 1
f(x)= [mm] ax-x^{3} [/mm] , 1< x [mm] \le [/mm] 1 (x element R)
f(x)= [mm] bx^{2} [/mm] , x>2 |
Hallo,
ich verstehe leider allgemein nicht was ich bei solchen Aufgaben machen soll, ich weiss zwar was stetigkeit ist, aber wie fange ich hier an?
Vielen Dank im voraus!
Fatih
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:00 Sa 16.07.2011 | | Autor: | ullim |
Hi,
wenn Du hier die Stetigkeit nicht direkt nachrechnen musst, reicht es zu wissen, das z.B. [mm] f(x)=x^2 [/mm] stetig ist und auch aus stetigen Funtionen zusammengesetzte Funktionen (skalare Mulitplikation, Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division) stetig sind.
Z.B. die erste Aufgabe. Die Funktion g(x)=1 und [mm] h(x)=x^2 [/mm] sind für sich stetig, also auch [mm] f(x)=g(x)+h(x)=1+x^2
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:05 Sa 16.07.2011 | | Autor: | blascowitz |
He ho,
ich glaube die auf Stetigkeit zu Untersuchende Funktion ist
[mm] f(x)=\begin{cases} 1+x², & \mbox{für } x \leq 1 \\ ax-x^3, & \mbox{für } x \in (1,2] \\
bx^2 & \mbox{für} x>2 \end{cases}
[/mm]
Viele Grüße
Blasco
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:08 Sa 16.07.2011 | | Autor: | Fatih17 |
Ja richtig, ich konnte diese Klammer irgendwie nicht machen :(
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:07 Sa 16.07.2011 | | Autor: | Fatih17 |
Aber woran erkenne ich denn, dass die nicht stetig sind? Ich meine rein rechnerisch?
|
|
|
| |
|
Deine Funktion besteht ja aus drei Teilen.
Also solltest du zuerst jeden Teil einzeln auf Stetigkeit untersuchen, da bietet sich der Vorschlag von ullim an.
Dann musst du noch an den Übergängen zwischen den drei Teilen gucken, also du musst zum Beispiel gucken ob $(1+1) = (a*1 - [mm] 1^3)$.
[/mm]
Natürlich darfst du 1 eigentlich nicht in die mittlere einsetzen und formal müsstest du das mit Grenzwerten hinschreiben, aber rein rechnerisch ist es genau das was du machst: Die einzelnen Teilfunktionen untersuchen, dann die Übergänge überprüfen.
MfG
Schadow
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:32 Sa 16.07.2011 | | Autor: | Fatih17 |
Also müsste ich jetzt zunächst den Grenzwert von [mm] 1+x^{2} [/mm] berechnen (der denke ich bei lim x->1, 1 ist oder?)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:46 Sa 16.07.2011 | | Autor: | ullim |
Hi,
für die Funktion
[mm] f(x)=\begin{cases} 1+x², & \mbox{für } x \leq 1 \\ ax-x^3, & \mbox{für } x \in (1,2] \\ bx^2 & \mbox{für} x>2 \end{cases}
[/mm]
musst Du den Grenzwert von [mm] \limes_{x\rightarrow 1}(1+x) [/mm] ausrechnen und den Grenzwert [mm] \limes_{x\rightarrow 1}(ax-x^3) [/mm] und das a bestimmen, für die die beiden Grenzwerte gleich sind, also
[mm] \limes_{x\rightarrow 1}(1+x)=2 [/mm] und [mm] \limes_{x\rightarrow 1}(ax-x^3)=a-1 [/mm] und aus 2=a-1 folgt a=3.
Ähnlich gehts für b.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:24 Sa 16.07.2011 | | Autor: | Fatih17 |
Hallo nochmal,
ich verstehe zum ersten nicht, warum man bei der Funktion [mm] ax-x^{3} [/mm] auch 1 einsetzt! Da steht doch das x größer sein muss als 1 und kleinergleich 2, also warum 1?
Demnach müsste b=2 sein wenn ich lim x->1 berechne bekomme ich b heraus und der muss gleich dem limes von der zweiten funktion sein, also b=2
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:02 Sa 16.07.2011 | | Autor: | ullim |
Hi,
> Hallo nochmal,
>
> ich verstehe zum ersten nicht, warum man bei der Funktion
> [mm]ax-x^{3}[/mm] auch 1 einsetzt! Da steht doch das x größer sein
> muss als 1 und kleinergleich 2, also warum 1?
an den Schnittstellen müssen die Funktionswerte gleich sein. Also der rechts- und der linksseitige Grenzwert müssen übereinstimmen. Beim linkswertigen Grenzwert musst Du
den Grenzwert von 1+x berechnen, denn links von 1 ist die Funktion so definiert. Beim rechtsseitigen musst Du den Grenzwert von [mm] ax-x^3 [/mm] berechnen, denn da ist die Funktion rechts von 1 so definiert.
> Demnach müsste b=2 sein wenn ich lim x->1 berechne bekomme
> ich b heraus und der muss gleich dem limes von der zweiten
> funktion sein, also b=2
Denn Wert für b bekommst Du nur heraus durch die Grenzwertbetrachtung x->2. Links von 2 ist die Definition von f(x) [mm] f(x)=ax-x^3 [/mm] und rechts von 2 ist f(x) durch [mm] f(x)=bx^2 [/mm] definiert.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:51 Sa 16.07.2011 | | Autor: | Fatih17 |
Alles klar, ich denke ich habe es begriffen dank euch 
Ich hätte noch eine Frage:
Ist eine Funktion nicht stetig, wenn die Grenzwerte der Teilfunktionen verschieden sind?
Danke
|
|
|
| |
|
Hallo Fatih,
> Ist eine Funktion nicht stetig, wenn die Grenzwerte der
> Teilfunktionen verschieden sind?
Wenn Du damit den linksseitigen und rechtsseitigen Grenzwert an einer Definitionsbereichsgrenze meinst, hast Du Recht.
Grüße
reverend
|
|
|
| |
|
> Hallo Fatih,
>
> > Ist eine Funktion nicht stetig, wenn die Grenzwerte der
> > Teilfunktionen verschieden sind?
>
> Wenn Du damit den linksseitigen und rechtsseitigen
> Grenzwert an einer Definitionsbereichsgrenze meinst, hast
> Du Recht.
>
> Grüße
> reverend
Hallo ihr beiden,
es kommt darauf an, ob die "Definitionsbereichsgrenze" selbst
zum Definitionsbereich der neuen Funktion gehören soll oder
nicht.
Beispiel:
die Funktion $\ [mm] f:\,x\mapsto \begin{cases} 0\ , & \mbox{für } x\le1 \\ x\ , & \mbox{für } x>1 \end{cases}$
[/mm]
ist (an der Stelle x=1) nicht stetig,
die Funktion $\ [mm] g:\,x\mapsto \begin{cases} 0\ , & \mbox{für } x<1 \\ x\ , & \mbox{für } x>1 \end{cases}$
[/mm]
ist (auf ihrem gesamten Definitionsbereich) stetig.
Ich erinnere damit an eine Diskussion, die vor langer Zeit
hier stattgefunden hat: Stetigkeit bei Definitionslücke
LG Al-Chw.
|
|
|
| |
|
> Hi,
>
> für die Funktion
>
> [mm]f(x)=\begin{cases} 1+x², & \mbox{für } x \leq 1 \\ ax-x^3, & \mbox{für } x \in (1,2] \\ bx^2 & \mbox{für} x>2 \end{cases}[/mm]
>
> musst Du den Grenzwert von [mm]\limes_{x\rightarrow 1}(1+x)[/mm]
> ausrechnen und den Grenzwert [mm]\limes_{x\rightarrow 1}(ax-x^3)[/mm]
> und das a bestimmen, für die die beiden Grenzwerte gleich
> sind, also
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow 1}(1+x)=2[/mm] und [mm]\limes_{x\rightarrow 1}(ax-x^3)=a-1[/mm]
> und aus 2=a-1 folgt a=3.
>
> Ähnlich gehts für b.
Hallo,
da die Einzelfunktionen [mm] f_1, f_2 [/mm] und [mm] f_3, [/mm] die hier zusammen-
geschnipselt werden, ohnehin auf ganz [mm] \IR [/mm] stetig sind
(bevor man ihre Definitionsbereiche einschränkt !),
kommt man aus, ohne Grenzwertberechnungen wirklich durch-
führen zu müssen. Es ist also:
[mm] $\limes_{x\downarrow1}f_2(x)\ [/mm] =\ [mm] \limes_{x\downarrow1}\,(a*x-x^3)\ [/mm] =\ [mm] f_2(1)\ [/mm] =\ a-1$
[mm] $\limes_{x\downarrow2}f_3(x)\ [/mm] =\ [mm] \limes_{x\downarrow2}\,(b*x^2)\ [/mm] =\ [mm] f_2(2)\ [/mm] =\ [mm] b*2^2\ [/mm] =\ [mm] 4\,b$
[/mm]
Um die linksseitigen Grenzwerte an den Nahtstellen 1 und 2
muss man sich ohnehin nicht mehr kümmern.
Klar: obwohl die Limesrechnungen nicht mehr durchge-
führt werden müssen, soll man erläutern, weshalb nicht.
LG Al-Chw.
|
|
|
|
