Stetigkeit sin(x)/x < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:46 Fr 20.11.2009 | | Autor: | chipbit |
| Aufgabe | Man bestimme, ob die Funktion [mm] f(x)=\begin{cases} \bruch{sinx}{x}, & \mbox{falls } x\not=0 \\ 1, & \mbox{falls } x=0 \end{cases}
[/mm]
stetig ist oder nicht und zeichne den Graphen der Funktion. |
Hallo Leute,
eigentlich brauche ich nur etwas Hilfe bei der Formulierung glaub ich, denn da hab ich immer ein wenig Probleme, denn ich glaube an sich habe ich die Aufgabe soweit schon gelöst. Aber ihr dürft mich gerne auch auf Fehler hinweisen ;)
Also, als erstes habe ich mir mal vorgenommen, das laut Definition eine Funktion stetig in [mm] x_0 [/mm] ist falls gilt [mm] \limes_{x \rightarrow x_0}f(x)=f(x_0),
[/mm]
so ich denke das ist in sofern offensichtlich das dies für jedes gewählte [mm] x_0 [/mm] gilt, außer [mm] x_0=0. [/mm] Da wir aber ja schon in der Definition gegeben haben das für x=0 die Funktion den Wert 1 annimmt, ist die Funktion auch dort stetig (oder zumindest stetig fortführbar, oder wie das heisst).
Richtig?
Wie kann ich das denn jetzt aber korrekt aufschreiben? Ich glaube meine Argumentation gibt da nicht viel her. Oder habe ich noch irgendwas Wichtiges übersehen?
Danke schonmal für eure Hilfe.
LG, chip
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:55 Fr 20.11.2009 | | Autor: | fred97 |
> Man bestimme, ob die Funktion [mm]f(x)=\begin{cases} \bruch{sinx}{x}, & \mbox{falls } x\not=0 \\ 1, & \mbox{falls } x=0 \end{cases}[/mm]
>
> stetig ist oder nicht und zeichne den Graphen der
> Funktion.
> Hallo Leute,
> eigentlich brauche ich nur etwas Hilfe bei der
> Formulierung glaub ich, denn da hab ich immer ein wenig
> Probleme, denn ich glaube an sich habe ich die Aufgabe
> soweit schon gelöst. Aber ihr dürft mich gerne auch auf
> Fehler hinweisen ;)
>
> Also, als erstes habe ich mir mal vorgenommen, das laut
> Definition eine Funktion stetig in [mm]x_0[/mm] ist falls gilt
> [mm]\limes_{x \rightarrow x_0}f(x)=f(x_0),[/mm]
Richtig.
> so ich denke das
> ist in sofern offensichtlich das dies für jedes gewählte
> [mm]x_0[/mm] gilt, außer [mm]x_0=0.[/mm]
O.K.
> Da wir aber ja schon in der
> Definition gegeben haben das für x=0 die Funktion den Wert
> 1 annimmt, ist die Funktion auch dort stetig (oder
> zumindest stetig fortführbar, oder wie das heisst).
fortsetzbar
> Richtig?
Es fehlt eine Begründung für: [mm] $\limes_{x\rightarrow 0}\bruch{sin(x)}{x}=1$
[/mm]
Ich weiß nicht was Ihr dafür als Hilfsmittel benutzen dürft.
Stetigkeit von Potenzreihen ? Differentialrechnung
Wenn Ihr z.B. schon den Begriff der Ableitung hattet und Du dei Ableitung vom Sinus kennst, kannst Du so argumentieren:
[mm] $\limes_{x\rightarrow 0}\bruch{sin(x)}{x}=\limes_{x\rightarrow 0}\bruch{sin(x)-sin(0)}{x-0}= [/mm] cos(0)=1$
FRED
> Wie kann ich das denn jetzt aber korrekt aufschreiben? Ich
> glaube meine Argumentation gibt da nicht viel her. Oder
> habe ich noch irgendwas Wichtiges übersehen?
> Danke schonmal für eure Hilfe.
> LG, chip
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:26 Sa 21.11.2009 | | Autor: | chipbit |
Danke Fred für deine Antwort.
Kann ich den ersten Teil denn wirklich so aufschreiben? Oder müsste ich das irgendwie zeigen, das es so ist?
Mit dem Grenzwert, da dachte ich an den links- und rechtsseitigen Grenzwert, wenn die gleich sind, ist dort ja die Stetigkeit gezeigt sozusagen. Ich hab einfach verwendet das für [mm] 0\le x\le\bruch{\pi}{2}: sinx\le x\le tanx=\bruch{sinx}{cosx} [/mm] gilt.
[mm] \Rightarrow [/mm] cosx [mm] \le\bruch{sinx}{x}\le1 [/mm] und damit folgt dann aus [mm] \limes_{x\rightarrow 0^+}cosx=1 [/mm] und [mm] \limes_{x\rightarrow 0^+}1=1 [/mm] nämlich [mm] \limes_{x\rightarrow 0^+}\bruch{sin}{x}=1 [/mm] und da [mm] \bruch{sinx}{x} [/mm] eine gerade Funktion ist, gilt auch [mm] \limes_{x\rightarrow 0^-}\bruch{sinx}{x}=1.
[/mm]
Und da links- und rechtsseitiger Grenzwert übereinstimmen gilt auch [mm] \limes_{x\rightarrow 0}\bruch{sinx}{x}=1
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:53 Sa 21.11.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Danke Fred für deine Antwort.
> Kann ich den ersten Teil denn wirklich so aufschreiben?
> Oder müsste ich das irgendwie zeigen, das es so ist?
Da reicht es normalerweise zu sagen, dass [mm] $\bruch{\sin x}{x}$ [/mm] als Produkt der stetigen Funktionen [mm] $\bruch{1}{x}$ [/mm] und [mm] $\sinx [/mm] $ stetig ist.
> Mit dem Grenzwert, da dachte ich an den links- und
> rechtsseitigen Grenzwert, wenn die gleich sind, ist dort ja
> die Stetigkeit gezeigt sozusagen. Ich hab einfach verwendet
> das für [mm]0\le x\le\bruch{\pi}{2}: sinx\le x\le tanx=\bruch{sinx}{cosx}[/mm]
> gilt.
> [mm]\Rightarrow[/mm] cosx [mm]\le\bruch{sinx}{x}\le1[/mm] und damit folgt
> dann aus [mm]\limes_{x\rightarrow 0^+}cosx=1[/mm] und
> [mm]\limes_{x\rightarrow 0^+}1=1[/mm] nämlich [mm]\limes_{x\rightarrow 0^+}\bruch{sin}{x}=1[/mm]
> und da [mm]\bruch{sinx}{x}[/mm] eine gerade Funktion ist, gilt auch
> [mm]\limes_{x\rightarrow 0^-}\bruch{sinx}{x}=1.[/mm]
> Und da links-
> und rechtsseitiger Grenzwert übereinstimmen gilt auch
> [mm]\limes_{x\rightarrow 0}\bruch{sinx}{x}=1[/mm]
Ja, das ist in Ordnung so. Du hast gezeigt, dass rechts- und linksseitiger Grenzwert existieren, beide gleich sind, und gleich dem Funktionswert. Mehr geht nicht.
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:55 Sa 21.11.2009 | | Autor: | chipbit |
Vielen Dank für eure Hilfe!
Lg, chip
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