Stetigkeit reeller Zahlen < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:27 So 20.12.2009 | | Autor: | toddelly |
| Aufgabe | Bestimmen Sie alle reellen Zahlen x0, in denen die Funktion f stetig ist:
f(x)=x(x−[x]) |
Ich hab mir dazu folgendes überlegt und wollte fragen ob man die Aufgabe so lösen kann! Hab mit der [mm] \delta [/mm] - [mm] \varepsilon [/mm] umgebung gearbeitet:
[mm] \forall \varepsilon [/mm] > 0 [mm] \exists \delta [/mm] >0 so dass [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] D [mm] |x-a|<\delta: |f(x)-f(a)|<\varepsilon
[/mm]
Sei [mm] \delta [/mm] = [mm] |\bruch{x-a}{x(x-[x]-a(a-[a]}|*\varepsilon
[/mm]
|x(x-[x])-a(a-[a])| < [mm] \delta|\bruch{x(x-[x]}{x-a}- \bruch{a(a-[a]}{x-a}|
[/mm]
= [mm] |\bruch{x-a}{x(x-[x]-a(a-[a]}|*\varepsilon*|\bruch{x-a}{x(x-[x]-a(a-[a]}| [/mm] = [mm] \varepsilon
[/mm]
=> [mm] |f(x)-f(a)|<\varepsilon
[/mm]
=> stetig für alle reellen Zahlen
kann man das so zeigen?
Vielen Dank
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:53 So 20.12.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
Erstmal herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Bestimmen Sie alle reellen Zahlen x0, in denen die Funktion
> f stetig ist:
> f(x)=x(x−[x])
> Ich hab mir dazu folgendes überlegt und wollte fragen ob
> man die Aufgabe so lösen kann! Hab mit der [mm]\delta[/mm] -
> [mm]\varepsilon[/mm] umgebung gearbeitet:
> [mm]\forall \varepsilon[/mm] > 0 [mm]\exists \delta[/mm] >0 so dass [mm]\forall[/mm]
> x [mm]\in[/mm] D [mm]|x-a|<\delta: |f(x)-f(a)|<\varepsilon[/mm]
>
> Sei [mm]\delta[/mm] = [mm]|\bruch{x-a}{x(x-[x]-a(a-[a]}|*\varepsilon[/mm]
> |x(x-[x])-a(a-[a])| < [mm]\delta|\bruch{x(x-[x]}{x-a}- \bruch{a(a-[a]}{x-a}|[/mm]
>
> =
> [mm]|\bruch{x-a}{x(x-[x]-a(a-[a]}|*\varepsilon*|\bruch{x-a}{x(x-[x]-a(a-[a]}|[/mm]
> = [mm]\varepsilon[/mm]
> => [mm]|f(x)-f(a)|<\varepsilon[/mm]
> => stetig für alle reellen Zahlen
> kann man das so zeigen?
Nein. An welcher Stelle kommt bei dir denn die Stetigkeit vor? Du setzt einfach [mm] $\delta:= \bruch{|x-a|}{|f(x)-f(a)|}*\varepsilon$, [/mm] steckst also das Ergebnis bereits in die Ausgangsgleichung. Daher ist es nicht verwunderlich, dass du herausbekommst, die Funktion sei überall stetig, obwohl sie das nicht ist.
Zwei Tipps:
1. Male dir die Funktion auf! Dann siehst du sofort, dass sie nicht überall stetig ist.
2. Die Funktion $[x]$ ist stetig in allen [mm] $x_0\in \IR\backslash\IZ$. [/mm] Folglich muss auch $f(x)$ in allen [mm] $x_0\in \IR\backslash\IZ$ [/mm] stetig sein.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:42 So 20.12.2009 | | Autor: | toddelly |
jaa stimmt wenn man das zeichnet ist das logisch mit der Gaussklammer....aber ich weiß nicht wirklich womit ich das dann zeigen soll
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Hi,
Ich empfehle dir, die Funktion erst mal per Fallunterscheidung aufzuschreiben. $[x]$ ist ja wohl die untere Gaussklammer, also die größte ganze Zahl, die kleinergleich $x$ ist. Da variiert nämlich die Schreibweise. Für [mm] $x\in\IZ$ [/mm] ist $[x]=x$ und somit $f(x)=0$. Das vereinfacht die Sache schon mal. Für [mm] $k
Jetzt hast du schon mal gezeigt, wo sie überall stetig ist, ich denke dass dir alle Schritte bis hier klar sind, oder?
Jetzt musst du das Folgenkriterium für Stetigkeit mal nachschlagen und die Unstetigkeit für [mm] $x\in\IZ$ [/mm] damit zeigen.
Grüße, Stefan.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:24 So 20.12.2009 | | Autor: | toddelly |
zeig ich die Unstetigkeit von Z am besten mit dem Grenzwert?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:27 So 20.12.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo toddelly!
> zeig ich die Unstetigkeit von Z am besten mit dem Grenzwert?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Und zwar mit rechtsseitigem und linksseitigem Grenzwert.
Gruß
Loddar
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