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| Aufgabe | Ist folgende Funktion stetig?
$f: [mm] \IR \to \IR$
[/mm]
[mm] $f_1(x)=\begin{cases} exp(\bruch{1}{x}), x < 0 \\ \wurzel{x}, x \ge 0 \end{cases}$ [/mm] |
Hi, ich habe mal eine weitere Aufgabe zu Stetigkeit gerechnet. Ich hoffe sie stimmt.
Linksseitiger Grenzwert (LSG):
[mm] $\limes_{x\rightarrow 0} exp(\bruch{1}{x})$
[/mm]
Da die e-Funktion einen solchen Verlauf hat:
[Dateianhang nicht öffentlich]
wird bei immer größerem "inneren" die e-Funktion gegen + unendlich laufen.
$exp(+ [mm] \infty)$
[/mm]
[mm] $\red{=+ \infty}$
[/mm]
Rechtsseitiger Grenzwert (RSG):
[mm] $\limes_{x\rightarrow 0} \wurzel{x}$
[/mm]
[mm] $\wurzel{0}$
[/mm]
[mm] $\red{=0}$
[/mm]
Da $LSG [mm] \not= [/mm] RSG$ ist die Funktion NICHT stetig. Es kann auf die Prüfung des Funktionswertes an der Stelle [mm] X_0 [/mm] verzichtet werden!$ [mm] RGS=LGS=f(x_0) [/mm] $
Danke
Grüße Thomas
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: PNG) [nicht öffentlich]
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Hi,
> Ist folgende Funktion stetig?
>
> [mm]f: \IR \to \IR[/mm]
>
>
> [mm]f_1(x)=\begin{cases} exp(\bruch{1}{x}), x < 0 \\ \wurzel{x}, x \ge 0 \end{cases}[/mm]
>
> Hi, ich habe mal eine weitere Aufgabe zu Stetigkeit
> gerechnet. Ich hoffe sie stimmt.
>
>
> Linksseitiger Grenzwert (LSG):
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow 0} exp(\bruch{1}{x})[/mm]
>
> Da die e-Funktion einen solchen Verlauf hat:
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> wird bei immer größerem "inneren" die e-Funktion gegen +
> unendlich laufen.
das stimmt zwar....
>
> [mm]exp(+ \infty)[/mm]
>
> [mm]\red{=+ \infty}[/mm]
>
aber in deiner funktion laeuft x gegen 'minus null', also 1/x gegen [mm] $-\infty$. [/mm] Was macht dann also die exp-funktion?
VG
Matthias
>
>
> Rechtsseitiger Grenzwert (RSG):
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow 0} \wurzel{x}[/mm]
>
> [mm]\wurzel{0}[/mm]
>
> [mm]\red{=0}[/mm]
>
>
>
> Da [mm]LSG \not= RSG[/mm] ist die Funktion NICHT stetig. Es kann auf
> die Prüfung des Funktionswertes an der Stelle [mm]X_0[/mm]
> verzichtet werden![mm] RGS=LGS=f(x_0)[/mm]
>
>
>
>
> Danke
>
>
> Grüße Thomas
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Hi Matthias,
danke fürs Korrekturlesen
> Hi,
> > Ist folgende Funktion stetig?
> >
> > [mm]f: \IR \to \IR[/mm]
> >
> >
> > [mm]f_1(x)=\begin{cases} exp(\bruch{1}{x}), x < 0 \\ \wurzel{x}, x \ge 0 \end{cases}[/mm]
>
> >
> > Hi, ich habe mal eine weitere Aufgabe zu Stetigkeit
> > gerechnet. Ich hoffe sie stimmt.
> >
> >
> > Linksseitiger Grenzwert (LSG):
> >
> > [mm]\limes_{x\rightarrow 0} exp(\bruch{1}{x})[/mm]
> >
> > Da die e-Funktion einen solchen Verlauf hat:
> >
> > [Dateianhang nicht öffentlich]
> >
> > wird bei immer größerem "inneren" die e-Funktion gegen +
> > unendlich laufen.
>
> das stimmt zwar....
>
> >
> > [mm]exp(+ \infty)[/mm]
> >
> > [mm]\red{=+ \infty}[/mm]
> >
> aber in deiner funktion laeuft x gegen 'minus null', also
> 1/x gegen [mm]-\infty[/mm]. Was macht dann also die exp-funktion?
>
Warum läuft die Funktion denn gegen [mm]-\infty[/mm]? Das versteh ich nicht. Aber um die Frage zu beantworten die exp-Funktion läuft bei [mm]-\infty[/mm] gegen 0.
Könntest du mir das noch erklären warum die gegen [mm]-\infty[/mm] läuft?
Danke Grüße Thomas
>
> VG
> Matthias
>
> >
> >
> > Rechtsseitiger Grenzwert (RSG):
> >
> > [mm]\limes_{x\rightarrow 0} \wurzel{x}[/mm]
> >
> > [mm]\wurzel{0}[/mm]
> >
> > [mm]\red{=0}[/mm]
> >
> >
> >
> > Da [mm]LSG \not= RSG[/mm] ist die Funktion NICHT stetig. Es kann
> auf
> > die Prüfung des Funktionswertes an der Stelle [mm]X_0[/mm]
> > verzichtet werden![mm] RGS=LGS=f(x_0)[/mm]
> >
> >
> >
> >
> > Danke
> >
> >
> > Grüße Thomas
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Hallo Thomas!
Du befindest Dich ja für die [mm] $\exp$-Funktion [/mm] gerade im Bereich der negativen Werte für $x_$ ; sprich: es handelt sich ja hier um den linksseitigen Grenzwert an $0_$ .
Von daher geht der Grenzwert auch: [mm] $\limes_{x\rightarrow 0^{\red{-}}}\bruch{1}{x} [/mm] \ = \ [mm] \red{-} [/mm] \ [mm] \infty$ [/mm] .
Gruß vom
Roadrunner
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Hi Roadrunner,
danke für die Erklärung.
Also hab ich das verstanden wenn ich folgendes habe:
$x<0, [mm] \bruch{1}{x}$ [/mm] dann geht dieser Grenzwert gegen $- [mm] \infty$
[/mm]
für
$x>0, [mm] \bruch{1}{x}$ [/mm] dann geht dieser Grenzwert gegen [mm] $\infty$
[/mm]
Stimmt das? Wenn ja, hab ich das dann verstanden.
Grüße Thomas
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Hallo Thomas!
> [mm]x<0, \bruch{1}{x}[/mm] dann geht dieser Grenzwert gegen [mm]- \infty[/mm]
> [mm]x>0, \bruch{1}{x}[/mm] dann geht dieser Grenzwert gegen [mm]\infty[/mm]
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") Richtig.
Gruß vom
Roadrunner
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| Status: |
(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 11:04 Do 31.05.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
siehe oben.
Gruss leduart
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| Status: |
(Korrektur) fundamentaler Fehler | | Datum: | 11:02 Do 31.05.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
[mm] e^{-1/0,0001}=e^{-10000}=1/e^{10000}\approx [/mm] 0
Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:10 Do 31.05.2007 | | Autor: | Roadrunner |
Hallo Leduart!
Hier wurde doch jeweils nur das Zwischenergebnis [mm] $\limes_{x\rightarrow 0^{\red{-}}}\bruch{1}{x} [/mm] \ = \ [mm] \red{-} [/mm] \ [mm] \infty [/mm] $ betrachtet.
Wenn man darauf nun noch die e-Funktion anwendet, erhält man selbstverständlich andere Grenzwerte:
$ [mm] \limes_{x\rightarrow 0^{\red{-}}}\exp\left(\bruch{1}{x}\right) [/mm] \ = \ 0 $
$ [mm] \limes_{x\rightarrow 0^{\red{+}}}\exp\left(\bruch{1}{x}\right) [/mm] \ = \ [mm] +\infty [/mm] $
Gruß vom
Roadrunner
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:27 Do 31.05.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo Roadrunner
Du hast Recht, meine dumme Berichtigung tut mir leid.
Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:29 Do 31.05.2007 | | Autor: | Roadrunner |
Hallo leduart!
Alles halb so schlimm ... ist ja nix passiert.
Gruß vom
Roadrunner
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