Stetigkeit partieller Ableitun < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:21 Do 13.10.2011 | | Autor: | kozlak |
| Aufgabe | gegeben ist die Funktion [mm] f:R^2->R [/mm] mit
[mm] f(x,y)=\pmat{ \bruch{x^2*sinx}{x^2+y^2} -> (x,y,)\not=(0,0)\\ 0 -> (x,y)=(0,0)}.
[/mm]
Berechne die partielle Ableitung [mm] \bruch{\partial f}{\partial x}(x,y) [/mm] für alle (x,y) [mm] \in R^2. [/mm] Ist die Ableitung [mm] \bruch{\partial f}{\partial x} [/mm] in (0,0) stetig? |
Hallo!
Das Ergebnis ist bei dieser Aufgabe wider einmal vorgegeben worden, nur ich komm nicht darauf. DIe partielle Ableitung nach x ist in (0,0) nicht stetig.
Habe zuerst [mm] \bruch{\partial f}{\partial x}(x,y) [/mm] berechnet:
[mm] \bruch{\partial f}{\partial x}(x,y)=\bruch{(2xsinx+x^2cosx)(x^2+y^2)-xsinx*2x}{(x^2+y^2)^2}.
[/mm]
Partielle Ableitung nach x in (0,0) ist:
[mm] \limes_{h\rightarrow 0} \bruch{sinh}{h}=1.
[/mm]
Untersuchung auf Stetigkeit der partiellen ABleitung nach x in (0,0):
Seien [mm] (x_n,y_n) [/mm] eine beliebige gegen (0,0) konvergierende Folge mit [mm] x_n \not= [/mm] 0 und [mm] y_n=0, [/mm] dann ist:
[mm] \bruch{\partial f}{\partial x}(0,0)=\limes_{x_n\rightarrow\infty}(x_n,0) \bruch{(x_n)^4cosx_n}{(x_n)^4}
[/mm]
[mm] \limes_{x_n\rightarrow\infty}(x_n,0) |\bruch{(x_n)^4cosx_n}{(x_n)^4}|\le \bruch{(x_n)^4}{(x_n)^4}=1.
[/mm]
Somit wäre es doch in (0,0) stetig?
mfg,
kozlak
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:30 Do 13.10.2011 | | Autor: | fred97 |
> gegeben ist die Funktion [mm]f:R^2->R[/mm] mit
>
> [mm]f(x,y)=\pmat{ \bruch{x^2*sinx}{x^2+y^2} -> (x,y,)\not=(0,0)\\ 0 -> (x,y)=(0,0)}.[/mm]
>
> Berechne die partielle Ableitung [mm]\bruch{\partial f}{\partial x}(x,y)[/mm]
> für alle (x,y) [mm]\in R^2.[/mm] Ist die Ableitung [mm]\bruch{\partial f}{\partial x}[/mm]
> in (0,0) stetig?
> Hallo!
>
> Das Ergebnis ist bei dieser Aufgabe wider einmal vorgegeben
> worden, nur ich komm nicht darauf. DIe partielle Ableitung
> nach x ist in (0,0) nicht stetig.
>
> Habe zuerst [mm]\bruch{\partial f}{\partial x}(x,y)[/mm] berechnet:
>
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial x}(x,y)=\bruch{(2xsinx+x^2cosx)(x^2+y^2)-xsinx*2x}{(x^2+y^2)^2}.[/mm]
Das stimmt. Wenn Du magst, kannst Du das noch vereinfachen.
>
> Partielle Ableitung nach x in (0,0) ist:
> [mm]\limes_{h\rightarrow 0} \bruch{sinh}{h}=1.[/mm]
Auch das stimmt.
>
> Untersuchung auf Stetigkeit der partiellen ABleitung nach x
> in (0,0):
>
> Seien [mm](x_n,y_n)[/mm] eine beliebige gegen (0,0) konvergierende
> Folge mit [mm]x_n \not=[/mm] 0 und [mm]y_n=0,[/mm] dann ist:
>
>
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial x}(0,0)=\limes_{x_n\rightarrow\infty}(x_n,0) \bruch{(x_n)^4cosx_n}{(x_n)^4}[/mm]
>
> [mm]\limes_{x_n\rightarrow\infty}(x_n,0) |\bruch{(x_n)^4cosx_n}{(x_n)^4}|\le \bruch{(x_n)^4}{(x_n)^4}=1.[/mm]
Hier gehts aber drunter und drüber ! was soll [mm] (x_n,0) [/mm] da oben ???
Tipp: betrachte [mm] \bruch{\partial f}{\partial x}(0,y)
[/mm]
FRED
>
> Somit wäre es doch in (0,0) stetig?
>
>
> mfg,
> kozlak
>
|
|
|
|
