Stetigkeit nachweisen < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:21 Fr 05.08.2016 | | Autor: | phifre |
| Aufgabe | Es sei [mm] $f:\mathbb{R}^2\longrightarrow\mathbb{R}$ [/mm] definiert durch
$$f(x,y) = [mm] \begin{cases} \frac{xy}{\sqrt{|x|}+y^2}, &\text{falls } (x,y)\neq(0,0) \\ \hfil 0, & \text{falls } (x,y)=(0,0)\end{cases}$$
[/mm]
Man prüfe, ob $f$ in $(0,0)$ stetig ist. |
Hallo!
Ich weiß leider nicht, wie ich an die Aufgabe rangehen soll..
Ich habe leider nicht mal eine Vermutung, ob die Funktion stetig ist oder nicht.
Betragsmäßige Abschätzungen nach oben haben mich bis jetzt nicht weiter gebracht..
Vielen Dank für Tipps!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:55 Fr 05.08.2016 | | Autor: | fred97 |
> Es sei [mm]f:\mathbb{R}^2\longrightarrow\mathbb{R}[/mm] definiert
> durch
> [mm]f(x,y) = \begin{cases} \frac{xy}{\sqrt{|x|}+y^2}, &\text{falls } (x,y)\neq(0,0) \\ \hfil 0, & \text{falls } (x,y)=(0,0)\end{cases}[/mm]
>
> Man prüfe, ob [mm]f[/mm] in [mm](0,0)[/mm] stetig ist.
>
> Hallo!
>
> Ich weiß leider nicht, wie ich an die Aufgabe rangehen
> soll..
> Ich habe leider nicht mal eine Vermutung, ob die Funktion
> stetig ist oder nicht.
> Betragsmäßige Abschätzungen nach oben haben mich bis
> jetzt nicht weiter gebracht..
Es ist
$|f (x,y)| [mm] \le \wurzel{|x|}|y|$
[/mm]
fred
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> Vielen Dank für Tipps!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:37 Sa 06.08.2016 | | Autor: | phifre |
Vielen Dank!
Das gilt da
[mm] $$\left|\frac{xy}{\sqrt{|x|}+y^2}\right| [/mm] = [mm] \frac{|xy|}{|\sqrt{|x|}+y^2|} \leq \frac{|x||y|}{\sqrt{|x|}} [/mm] = [mm] \sqrt{|x|}|y|$$
[/mm]
Somit gilt
$$ [mm] \lim_{x,y\to0} \left|\frac{xy}{\sqrt{|x|}+y^2}\right| \leq \lim_{x,y\to0} \sqrt{|x|}|y| [/mm] = 0$$
Also ist $f(x,y)$ stetig in $(0,0)$.
Liebe Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:04 Sa 06.08.2016 | | Autor: | fred97 |
> Vielen Dank!
> Das gilt da
> [mm]\left|\frac{xy}{\sqrt{|x|}+y^2}\right| = \frac{|xy|}{|\sqrt{|x|}+y^2|} \leq \frac{|x||y|}{\sqrt{|x|}} = \sqrt{|x|}|y|[/mm]
(k)eine Kleinigkeit :
bei der Herleitung obiger abschätzung muss man [mm] x\ne [/mm] 0 fordern.
nachträglich sieht man aber dass dies Ungleichung auch für x=0 gilt
fred
>
> Somit gilt
> [mm]\lim_{x,y\to0} \left|\frac{xy}{\sqrt{|x|}+y^2}\right| \leq \lim_{x,y\to0} \sqrt{|x|}|y| = 0[/mm]
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> Also ist [mm]f(x,y)[/mm] stetig in [mm](0,0)[/mm].
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> Liebe Grüße
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