Stetigkeit mit Epsilon Delta < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:57 Mo 13.12.2010 | | Autor: | Jewgenij |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass die Funktion f : [mm] \IR \mapsto \IR [/mm] mit f(x) =
[mm] \bruch{1}{1 + x^2} [/mm] stetig ist, indem Sie das
[mm] \varepsilon- \delta [/mm] -Kriterium für Stetigkeit verwenden. |
HI Leute! Also ich habe ein Aufgabe, in der man Stetigkeit anhand der Definition zeigen soll. Mein größtes Problem dabei ist, dass ich die epsilon-delta Definition nur für Stetigkeit in einem Punkt , [mm] x_{0} [/mm] , kenne. Hier soll man mit diesem Kriterium die Stetigkeit der ganzen Funktion beweisen (Hat ja auch keine Defintionslücke)
Habe versucht die Defintion für allgemeines [mm] x_0 [/mm] zu benutzen, komme aber nicht weiter: folgendermaßen angefangen:
[mm] |f(x) - f(x_0) | = | \bruch{1}{1+x^2} - \bruch{1}{1+x_0^2} | = | \bruch{1 + x_0^2 - 1 - x_0^2 }{(1-x^2)(1-x_0^2)} | = | \bruch{x^2 - x_0^2}{(1-x^2)(1-x_0^2)} | = |\bruch{(x+x_0)(x-x_0)}{(1-x^2)(1-x_0^2)} | < \varepsilon
\gdw |x-x_0| < \varepsilon * | \bruch {(1-x^2)(1-x_0^2)}{x+x_0} | = \delta ????
[/mm]
So ab hie habe leider keine Idee mehr, bzw eigentlich weiß ich gar nicht, ob dieser Ansatz überhaupt etwas taugt..
Vielen Dank schonmal!
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Hallo Jewgenij,
dein Ansatz wäre ok, wenn du korrekt rechnen würdest.
Wie kommst du bspw. auf deinen Nenner?
Hauptnenner bilden müssen wir uns wohl nochmal angucken 
Und dann als Tip: [mm] $\left|\bruch{(x + x_0)}{(1+x^2)(1+x_0^2)}\right| \le [/mm] 1$
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:43 Mo 13.12.2010 | | Autor: | Jewgenij |
Oh Danke da im Nenner habe ich + und - vertauscht, es sollte folgendermaßen heißen:
[mm]
$ |f(x) - f(x_0) | = | \bruch{1}{1+x^2} - \bruch{1}{1+x_0^2} | = | \bruch{1 + x_0^2 - 1 - x_0^2 }{(1+x^2)(1+x_0^2)} | = | \bruch{x^2 - x_0^2}{(1+x^2)(1+x_0^2)} | = |\bruch{(x+x_0)(x-x_0)}{(1+x^2)(1+x_0^2)} | < \varepsilon \gdw |x-x_0| < \varepsilon \cdot{} | \bruch {(1+x^2)(1+x_0^2)}{x+x_0} | = \delta ???? $
Du sagtest, dass
[/mm] | [mm] \bruch{x+x_0}{(1+x_0^2)(1+x^2)} [/mm] | <= 1
Wie kann man das denn zeigen? Dann wäre doch aber
| [mm] \bruch{(1+x_0^2)(1+x^2)}{x+x_0} [/mm] | >= 1 , woll?
[/mm]
Vielen Dank!
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Huhu,
du willst zu früh dein Epsilon setzen.
Die Aufgabe ist ja: "Finde zu jedem [mm] \varepsilon [/mm] ein [mm] \delta"
[/mm]
Also Formen wir solange um, bis unser Ausdruck nur noch von [mm] \delta [/mm] und maximal noch von [mm] x_0 [/mm] abhängt.
> Oh Danke da im Nenner habe ich + und - vertauscht, es
> sollte folgendermaßen heißen:
Ich hab deine Betragsstriche mal schön gemacht, das kriegst du hin, indem du sie vor einem Bruch mit \left| anfängst und mit \right| beendest.
> [mm]
$ |f(x) - [mm] f(x_0) [/mm] | = [mm] \left| \bruch{1}{1+x^2} - \bruch{1}{1+x_0^2} \right| [/mm] = [mm] \left| \bruch{1 + x_0^2 - 1 - x_0^2 }{(1+x^2)(1+x_0^2)} \right| [/mm] = [mm] \left| \bruch{x^2 - x_0^2}{(1+x^2)(1+x_0^2)} \right| [/mm] = [mm] \left|\bruch{(x+x_0)(x-x_0)}{(1+x^2)(1+x_0^2)} \right| [/mm] = [mm] |x-x_0| [/mm] * [mm] \left|\bruch{x+x_0}{(1+x^2)(1+x_0)}\right| \le |x-x_0|* [/mm] 1 < [mm] \delta$
[/mm]
Nun können wir ja [mm] $\delta [/mm] := [mm] \varepsilon$ [/mm] wählen, dann passt alles.
Soweit klar?
Überlege dir folgendes:
[mm] \left|\bruch{x+x_0}{(1+x^2)(1+x_0)}\right| \le \bruch{|x| + |x_0|}{(1+x^2)(1+x_0^2)} [/mm] = [mm] \bruch{1}{(1+x_0^2)}*\bruch{|x|}{1+x^2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{(1+x^2)}*\bruch{|x_0|}{1+x_0^2}$
[/mm]
Nun zeige:
[mm] $\bruch{|x|}{1+x^2} \le \bruch{1}{2}$
[/mm]
Und wie kannst du [mm] \bruch{1}{(1+x^2)} [/mm] abschätzen?
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:13 Di 14.12.2010 | | Autor: | Jewgenij |
[mm] 0 \le \bruch{1}{2} *(|x|-1 )^2 = \bruch{1}{2}*(|x|^2 -2|x| +1)
= \bruch{1}{2} *(1 + x^2) - |x|
\gdw |x| \le \bruch{1}{2} *(1+x^2)
\gdw \bruch{|x|}{1+x^2} \le \bruch{ 1}{2}
[/mm]
Und natürlich: [mm] \bruch{1}{1+x^2} \le [/mm] 1
Also:
[mm] \left|\bruch{x+x_0}{(1+x^2)(1+x_0)}\right| \le \bruch{|x| + |x_0|}{(1+x^2)(1+x_0^2)} = \bruch{1}{(1+x_0^2)}\cdot{}\bruch{|x|}{1+x^2} + \bruch{1}{(1+x^2)}\cdot{}\bruch{|x_0|}{1+x_0^2}$
\le 1 * \bruch{1}{2} + 1 * \bruch{1}{2} = 1 [/mm]
Ist das so ok?
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Huhu,
alles schick 
MFG,
Gono.
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