Stetigkeit mit Delta-Epsilon < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:23 Do 19.05.2005 | | Autor: | Herby |
Hallo liebe Forenmitglieder,
ich darf die Stetigkeit der Funktion [mm] y=f_{(x)}=\wurzel[3]{x} [/mm] mit dem [mm] \varepsilon- \delta-Kalkuel [/mm] nachweisen, für alle positiven x -- jipiihh!
Bereits gepostete Beiträge habe ich teilweise gelesen, das Verständnis für das Kalkül blieb jedoch so "eingeschränkt" wie vorher. Auch aus meinem Skript, wie auch aus Büchern werde ich nicht so richtig auf die richtige Spur gelenkt.
Vom Prinzip her ist das Kriterium klar (hoffe ich zumindest), das die jeweiligen Umgebungen:
atens) beliebig gewählt werden können, also [mm] \delta [/mm] mein ich, und [mm] \varepsilon [/mm] dementsprechend nicht erheblich abweichen darf --
...... was ist erheblich????
btens) um einen Punkt x gelegt werden müssen, der ebenfalls beliebig sein darf, da ich die Stetigkeit ja vor alle positiven x zu zeigen ist --
glaub' ich!
Ach so es gibt noch einen Hinweis:
[mm] x-a=(x^{\bruch{1}{3}}-a^{\bruch{1}{3}})*(x^{\bruch{2}{3}}+x^{\bruch{1}{3}}a^{\bruch{1}{3}}+a^{\bruch{2}{3}}) [/mm] mit [mm] (a,x\in\IR)
[/mm]
Schön!
liebe Grüße
Herby
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Hallo Herby!
> ich darf die Stetigkeit der Funktion
> [mm]y=f_{(x)}=\wurzel[3]{x}[/mm] mit dem [mm]\varepsilon- \delta-Kalkuel[/mm]
> nachweisen, für alle positiven x -- jipiihh!
Dieses Gefühl kenne ich... Nicht verzweifeln!
Stetigkeitsbeweise fangen (leider) stets so an: Sei [mm] $\varepsilon>0$. $\varepsilon$ [/mm] ist also fest vorgegeben. Behandeln wir zunächst den Punkt [mm] $x_0=0$. [/mm] Dann ist [mm] $|\sqrt[3]{x_0}-\sqrt[3]{a}|=|\sqrt[3]{a}|=\sqrt[3]{|a|}<\sqrt[3]{\delta}$. [/mm] Damit also [mm] $|\sqrt[3]{x_0}-\sqrt[3]{a}|<\varepsilon$ [/mm] ist, kannst du [mm] $\delta:=\varepsilon^3$ [/mm] setzen.
Um die Stetigkeit von $f$ zu zeigen, musst du aber die Stetigkeit von $f$ in jedem Punkt [mm] $x\in\IR$ [/mm] zeigen. Deshalb wählst du jetzt ein [mm] $x_0\in\IR\setminus\{0\}$.
[/mm]
Jetzt soll gelten: [mm] $|\sqrt[3]{x_0}-\sqrt[3]{a}|<\varepsilon$, [/mm] falls [mm] $|x_0-a|<\delta$.
[/mm]
Wegen des Tipps ist [mm] $|\sqrt[3]{x_0}-\sqrt[3]{a}|=\bruch{|x_0-a|}{|x_0^{\bruch{2}{3}}+x_0^{\bruch{1}{3}}a^{\bruch{1}{3}}+a^{\bruch{2}{3}}|}$.
[/mm]
Angenommen, man könnte jetzt [mm] $|x_0^{\bruch{2}{3}}+x_0^{\bruch{1}{3}}a^{\bruch{1}{3}}+a^{\bruch{2}{3}}|$ [/mm] nach unten durch eine Konstante $M>0$ abschätzen, die nur von [mm] $x_0$ [/mm] abhängt, dann könnte man sich [mm] $\delta:=M*\varepsilon$ [/mm] definieren und hätte es geschafft! (Deshalb mussten wir nämlich auch den Punkt 0 vorab behandeln, da gibt es nämlich so eine Konstante nicht...).
Wir können ja auf jeden Fall annehmen, dass [mm] $\delta<\frac{|x_0|}{2}$ [/mm] ist. Durch ein kleineres [mm] $\delta$ [/mm] sind nämlich weniger $a$ zu untersuchen...
Damit ist [mm] $|a|\ge |x_0|-|a-x_0|\ge\bruch{1}{2}|x_0|=:c$.
[/mm]
Jetzt können wir folgern (weil [mm] $x_0>0\ \Leftrightarrow [/mm] a>0$, dann gilt in der Dreieckungleichung nämlich Gleichheit):
[mm] $|x_0^{\bruch{2}{3}}+x_0^{\bruch{1}{3}}a^{\bruch{1}{3}}+a^{\bruch{2}{3}}|=|x_0|^{\bruch{2}{3}}+|x_0|^{\bruch{1}{3}}*|a|^\bruch{1}{3}+|a|^\bruch{2}{3}\ge|x_0|^{\bruch{2}{3}}+|x_0|^{\bruch{1}{3}}*c^\bruch{1}{3}+c^\bruch{2}{3}=:M>0$.
[/mm]
Jetzt definieren wir [mm] $\delta:=\min\left\{\bruch{|x_0|}{2};M*\varepsilon\right\}$ [/mm] und erhalten für alle [mm] $a\in\IR$ [/mm] mit [mm] $|x_0-a|<\delta$:
[/mm]
[mm] $|\sqrt[3]{x_0}-\sqrt[3]{a}|\le \bruch{|x_0-a|}{M}<\bruch{\delta}{M}\le\bruch{M*\varepsilon}{M}=\varepsilon$.
[/mm]
So, ich hoffe, dass alles stimmt und natürlich auch, dass du es nachvollziehen kannst!
Gruß, banachella
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:13 Do 19.05.2005 | | Autor: | Herby |
Hi Kristine,
erst einmal ein großes DANKE SCHÖN--
...ich werd' das jetzt 'mal versuchen nachzuvollziehen.
liebe Grüße
Herby
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:39 Do 19.05.2005 | | Autor: | Herby |
.. es tümmeln sich so einige Fragen in der Umgebung des Monitors...
z.B.
>
> Stetigkeitsbeweise fangen (leider) stets so an: Sei
> [mm]\varepsilon>0[/mm]. [mm]\varepsilon[/mm] ist also fest vorgegeben.
> Behandeln wir zunächst den Punkt [mm]x_0=0[/mm]. Dann ist
.... warum wird [mm] x_{0}=0 [/mm] gesetzt, wenn doch in der Aufgabenstellung steht: für alle positiven x ???
> [mm]|\sqrt[3]{x_0}-\sqrt[3]{a}|=|\sqrt[3]{a}|=\sqrt[3]{|a|}<\sqrt[3]{\delta}[/mm].
> Damit also [mm]|\sqrt[3]{x_0}-\sqrt[3]{a}|<\varepsilon[/mm] ist,
> kannst du [mm]\delta:=\varepsilon^3[/mm] setzen.
Hab' ich verstanden!
>
> Um die Stetigkeit von [mm]f[/mm] zu zeigen, musst du aber die
> Stetigkeit von [mm]f[/mm] in jedem Punkt [mm]x\in\IR[/mm] zeigen. Deshalb
> wählst du jetzt ein [mm]x_0\in\IR\setminus\{0\}[/mm].
Feierabend: Was für ein [mm] x_{0}??? [/mm] Sieht mir aus wie das von oben???
Revidiere: Ist ein anderes [mm] x_{0} [/mm] ; - o.k. - ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Jetzt soll gelten:
> [mm]|\sqrt[3]{x_0}-\sqrt[3]{a}|<\varepsilon[/mm], falls
> [mm]|x_0-a|<\delta[/mm].
> Wegen des Tipps ist
> [mm]|\sqrt[3]{x_0}-\sqrt[3]{a}|=\bruch{|x_0-a|}{|x_0^{\bruch{2}{3}}+x_0^{\bruch{1}{3}}a^{\bruch{1}{3}}+a^{\bruch{2}{3}}|}[/mm].
Was ist wenn ich keinen Tipp habe???
> Angenommen, man könnte jetzt
> [mm]|x_0^{\bruch{2}{3}}+x_0^{\bruch{1}{3}}a^{\bruch{1}{3}}+a^{\bruch{2}{3}}|[/mm]
> nach unten durch eine Konstante [mm]M>0[/mm] abschätzen, die nur von
Warum: ...angenommen man könnte....?
> [mm]x_0[/mm] abhängt, dann könnte man sich [mm]\delta:=M*\varepsilon[/mm]
und .. die nur von [mm] x_{0} [/mm] abhängt?
Stop: Wir hatten oben [mm] \delta:= \varepsilon^{3} [/mm] --- kann ich da einfach [mm] \delta:=M*\varepsilon [/mm] von machen???
> definieren und hätte es geschafft! (Deshalb mussten wir
> nämlich auch den Punkt 0 vorab behandeln, da gibt es
> nämlich so eine Konstante nicht...).
> Wir können ja auf jeden Fall annehmen, dass
> [mm]\delta<\frac{|x_0|}{2}[/mm] ist. Durch ein kleineres [mm]\delta[/mm] sind
> nämlich weniger [mm]a[/mm] zu untersuchen...
?????????????
Bis hierhin, denke ich reichen euch die Fragen mit mir.
nochmals
Danke Banachella
lg
Herby
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...schlimm, schlimm ![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]")
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:38 Fr 20.05.2005 | | Autor: | Max |
Hallo Herby,
> > Stetigkeitsbeweise fangen (leider) stets so an: Sei
> > [mm]\varepsilon>0[/mm]. [mm]\varepsilon[/mm] ist also fest
>> vorgegeben.
> > Behandeln wir zunächst den Punkt [mm]x_0=0[/mm]. Dann ist
>
> .... warum wird [mm]x_{0}=0[/mm] gesetzt, wenn doch in der
> Aufgabenstellung steht: für alle positiven x ???
Dabei handelt es sich um eine Fallunterscheidung. 1 Fall: [mm] $x_0=0$, [/mm] 2. Fall: [mm] $x_0>0$.
[/mm]
> >
> [mm]|\sqrt[3]{x_0}-\sqrt[3]{a}|=|\sqrt[3]{a}|=\sqrt[3]{|a|}<\sqrt[3]{\delta}[/mm].
> > Damit also [mm]|\sqrt[3]{x_0}-\sqrt[3]{a}|<\varepsilon[/mm] ist,
> > kannst du [mm]\delta:=\varepsilon^3[/mm] setzen.
>
> Hab' ich verstanden!
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
> >
> > Um die Stetigkeit von [mm]f[/mm] zu zeigen, musst du aber die
> > Stetigkeit von [mm]f[/mm] in jedem Punkt [mm]x\in\IR[/mm] zeigen.
>> Deshalb
> > wählst du jetzt ein [mm]x_0\in\IR\setminus\{0\}[/mm].
>
> Feierabend: Was für ein [mm]x_{0}???[/mm] Sieht mir aus wie das von
> oben???
> Revidiere: Ist ein anderes [mm]x_{0}[/mm] ; - o.k. -
Das ist halt die Untersuchung des 2. Falls.
>
> > Jetzt soll gelten:
> > [mm]|\sqrt[3]{x_0}-\sqrt[3]{a}|<\varepsilon[/mm], falls
> > [mm]|x_0-a|<\delta[/mm].
> > Wegen des Tipps ist
> >
> [mm]|\sqrt[3]{x_0}-\sqrt[3]{a}|=\bruch{|x_0-a|}{|x_0^{\bruch{2}{3}}+x_0^{\bruch{1}{3}}a^{\bruch{1}{3}}+a^{\bruch{2}{3}}|}[/mm].
>
> Was ist wenn ich keinen Tipp habe???
Dann musst du dir so eine Abschätzung selbst hart erarbeiten!
>
> > Angenommen, man könnte jetzt
> >
> [mm]|x_0^{\bruch{2}{3}}+x_0^{\bruch{1}{3}}a^{\bruch{1}{3}}+a^{\bruch{2}{3}}|[/mm]
> > nach unten durch eine Konstante [mm]M>0[/mm] abschätzen, die nur von
>
> Warum: ...angenommen man könnte....?
Weil noch der Nachweis dieser Konstanten fehlt.
>
> > [mm]x_0[/mm] abhängt, dann könnte man sich [mm]\delta:=M*\varepsilon[/mm]
>
> und .. die nur von [mm]x_{0}[/mm] abhängt?
> Stop: Wir hatten oben [mm]\delta:= \varepsilon^{3}[/mm] --- kann
> ich da einfach [mm]\delta:=M*\varepsilon[/mm] von machen???
>
> > definieren und hätte es geschafft! (Deshalb mussten wir
> > nämlich auch den Punkt 0 vorab behandeln, da gibt es
> > nämlich so eine Konstante nicht...).
>
>
> > Wir können ja auf jeden Fall annehmen, dass
> > [mm]\delta<\frac{|x_0|}{2}[/mm] ist. Durch ein kleineres [mm]\delta[/mm] sind
> > nämlich weniger [mm]a[/mm] zu untersuchen...
>
> ?????????????
Nun ja, weniger $a$ im Sinne von: damit machen wir die [mm] $\delta$-Umgebung [/mm] um [mm] $x_0$ [/mm] kleiner und haben "weniger" mögliche Werte die man für $a$ einsetzen könnte (weniger ist bei unendlichvielen natürlich so ne Sache  )
Übrigens kannst du die beiden Fälle noch in einen packen, wenn du [mm] $\delta=\min\left(\frac{|x_0|}{2}; M\cdot \varepsilon; \varepsilon^3\right)$ [/mm] wählst.
Gruß Max
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:09 Fr 20.05.2005 | | Autor: | banachella |
Hallo herby!
Max hat ja deine Frage eigentlich schon beantwortet, nur eine kleine Bemerkung habe ich noch:
> .... warum wird [mm]x_{0}=0[/mm] gesetzt, wenn doch in der
> Aufgabenstellung steht: für alle positiven x ???
Wie Max richtig gesagt hat, mache ich hier eine Fallunterscheidung. Hätte ich aber deine Angabe ordentlich gelesen, hätte ich gewusst, dass das gar nicht notwendig ist. Tatsächlich reicht es, den Fall [mm] $x_0>0$ [/mm] zu betrachten. Mein Beweis ist eher für [mm] $x_0\in\IR$... [/mm]
> ...schlimm, schlimm
Trotzdem: Nicht verzweifeln! Mit der Zeit gewöhnt man sich an alle diese Dinge, und dann wird's dir überhaupt nicht mehr schlimm vorkommen!
Gruß, banachella
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:08 Fr 20.05.2005 | | Autor: | Herby |
Hallo Banachella,
![[anbet]](/images/smileys/anbet.gif "[anbet]")
Hallo Max,
Hallo alle Anderen,
![[grins]](/images/smileys/grins.gif "[grins]")
... o.k....
> Angenommen, man könnte jetzt
> [mm]|x_0^{\bruch{2}{3}}+x_0^{\bruch{1}{3}}a^{\bruch{1}{3}}+a^{\bruch{2}{3}}|[/mm]
> nach unten durch eine Konstante [mm]M>0[/mm] abschätzen, die nur von
> [mm]x_0[/mm] abhängt, dann könnte man sich [mm]\delta:=M*\varepsilon[/mm]
> definieren und hätte es geschafft! (Deshalb mussten wir
> nämlich auch den Punkt 0 vorab behandeln, da gibt es
> nämlich so eine Konstante nicht...).
> Wir können ja auf jeden Fall annehmen, dass
> [mm]\delta<\frac{|x_0|}{2}[/mm] ist. Durch ein kleineres [mm]\delta[/mm] sind
> nämlich weniger [mm]a[/mm] zu untersuchen...
> Damit ist [mm]|a|\ge |x_0|-|a-x_0|\ge\bruch{1}{2}|x_0|=:c[/mm].
>
Eigene Gedanken: Das heißt, dadurch, dass ich den Nenner kleiner mache, vergrößert sich der Wert des Terms insgesamt, ist aber noch gleich [mm] \delta, [/mm] was bedeutet kleiner [mm] \varepsilon [/mm] ; richtig?
Oder anders herum? ![[turn]](/images/smileys/turn.gif "[turn]") *g*
Das mit der Konstanten hab ich noch nicht ganz geschnallt. In dem Nenner ist doch noch das a vorhanden, muss das nicht raus? In M ist es doch immer noch mit inbegriffen.
Genauso das [mm] \delta< \bruch{|x_{0}|}{2}?? [/mm] Ist damit die Umgebung um [mm] x_{0} [/mm] gemeint??
Unabhängig der o.a. Fragen, wenn ich weitergehe....
> Jetzt können wir folgern (weil [mm]x_0>0\ \Leftrightarrow a>0[/mm],
> dann gilt in der Dreieckungleichung nämlich Gleichheit):
>
> [mm]|x_0^{\bruch{2}{3}}+x_0^{\bruch{1}{3}}a^{\bruch{1}{3}}+a^{\bruch{2}{3}}|=|x_0|^{\bruch{2}{3}}+|x_0|^{\bruch{1}{3}}*|a|^\bruch{1}{3}+|a|^\bruch{2}{3}\ge|x_0|^{\bruch{2}{3}}+|x_0|^{\bruch{1}{3}}*c^\bruch{1}{3}+c^\bruch{2}{3}=:M>0[/mm].
> Jetzt definieren wir
> [mm]\delta:=\min\left\{\bruch{|x_0|}{2};M*\varepsilon\right\}[/mm]
> und erhalten für alle [mm]a\in\IR[/mm] mit [mm]|x_0-a|<\delta[/mm]:
> [mm]|\sqrt[3]{x_0}-\sqrt[3]{a}|\le \bruch{|x_0-a|}{M}<\bruch{\delta}{M}\le\bruch{M*\varepsilon}{M}=\varepsilon[/mm].
Wenn ihr mir noch verratet wie ich auf |a| komme, glaube ich eventuell nachvollziehen zu können, wie ich vielleicht auf [mm] |\sqrt[3]{x_0}-\sqrt[3]{a}|<\varepsilon [/mm] komme.
lg
Herby
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Auf die nächste Aufgabe: Prost [Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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Hallo!
> Eigene Gedanken: Das heißt, dadurch, dass ich den Nenner
> kleiner mache, vergrößert sich der Wert des Terms
> insgesamt,
Das ist richtig!
> ist aber noch gleich [mm]\delta,[/mm] was bedeutet
> kleiner [mm]\varepsilon[/mm] ; richtig?
Fast: Der Zähler ist dann kleiner als [mm] $\delta$, [/mm] und [mm] $\delta$ [/mm] ist kleiner als der Nenner (also $M$) mal [mm] $\varepsilon$.
[/mm]
> Das mit der Konstanten hab ich noch nicht ganz geschnallt.
> In dem Nenner ist doch noch das a vorhanden, muss das nicht
> raus? In M ist es doch immer noch mit inbegriffen.
Tatsächlich ist $M$ nur von [mm] $x_0$ [/mm] abhängig, denn [mm] $M:=|x_0|^{\bruch{2}{3}}+|x_0|^{\bruch{1}{3}}\cdot{}c^\bruch{1}{3}+c^\bruch{2}{3}$, [/mm] wobei ja [mm] $c:=\bruch{1}{2}|x_0|$. [/mm]
Deshalb schätze ich's ja durch $M$ ab, um das $a$ loszuwerden!
> Genauso das [mm]\delta< \bruch{|x_{0}|}{2}??[/mm] Ist damit die
> Umgebung um [mm]x_{0}[/mm] gemeint??
Eigentlich schon: Ich beschließe einfach, dass ich [mm] $\delta$ [/mm] so klein wählen werde, dass $a$ einen ordentlichen Abstand vom Nullpunkt hat.
> Wenn ihr mir noch verratet wie ich auf |a| komme, glaube
> ich eventuell nachvollziehen zu können, wie ich vielleicht
> auf [mm]|\sqrt[3]{x_0}-\sqrt[3]{a}|<\varepsilon[/mm] komme.
Hhhmm. Das ist schwierig. $|a|$ kennst du ja eigentlich genauso wenig wie $a$. Das einzige, was du weißt, ist, dass $a$ nahe an [mm] $x_0$ [/mm] liegt. (Nämlich gerade so, dass [mm] $|x_0-a|<\delta$.) [/mm] Deshalb schätzt du $|a|$ durch [mm] $|x_0|$ [/mm] ab...
Ich hoffe, dass dir das ein bisschen weiterhilft...
Gruß, banachella
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:55 Fr 20.05.2005 | | Autor: | Herby |
Hi Banachella,
und nochmal *g*
vielen Dank, ich werde wohl noch ein paar Mal darüber schlafen müssen.
Wenn noch Fragen auftreten sollten, weiß ich ja wo ich euch finde, *ggg*
liebe Grüße
Herby
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