Stetigkeit, komplizierter Fall < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:24 Mi 20.01.2010 | | Autor: | Zeppe888 |
| Aufgabe | Betrachten Sie die Funktion
$f: (0,1) [mm] \to [/mm] R \ : \ [mm] f(x)=\begin{cases} \bruch{1}{b}, & \mbox{falls } x = \bruch{a}{b} \in \IQ \ \text{mit} \ ggT (a,b)=1 \\ x, & \mbox{falls } x\in R\setminus\IQ \end{cases}$
[/mm]
Zeigen Sie, dass $f$ für alle $x [mm] \in \IQ \cap [/mm] (0; 1)$ nicht stetig ist.
Hinweis: Sie durfen ohne Beweis verwenden, dass jedes nichtleeres, o enes
Teilintervall von R eine irrationale Zahl enthalt. |
zuerst einmal bin ich nicht sicher ob die funktion richtig angezeigt wird. wo könnte da der fehler sein?
an alle die die funktion trotzdem lesen können:
wie geht man an so was ran bzw was soll ich jetzt genau zeigen? Ich bin bei dieser Aufgabe total überfordert.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
> Betrachten Sie die Funktion
> [mm]f: (0,1) \to R \ : \ f(x)=\begin{cases} \bruch{1}{b}, & \mbox{falls } x = \bruch{a}{b} \in \IQ \ \text{mit} \ ggT (a,b)=1 \\ x, & \mbox{falls } x\in R\setminus\IQ \end{cases}[/mm]
> Zeigen Sie, dass [mm]\ f[/mm] für alle [mm]x \in \IQ \cap (0; 1)[/mm] nicht
> stetig ist.
> Hinweis: Sie dürfen ohne Beweis verwenden, dass jedes
> nichtleere, offene
> Teilintervall von R eine irrationale Zahl enthält
> wie geht man an so was ran bzw was soll ich jetzt genau
> zeigen? Ich bin bei dieser Aufgabe total überfordert.
(die Funktion kann ich sehr wohl lesen, aber im
übrigen Text waren sonderbare Zeichen, bei denen
ich sogar Mühe hatte, sie zu löschen)
Hallo Zeppe888,
Für Stetigkeit an einer rationalen Stelle $\ [mm] r=\frac{a}{b}$
[/mm]
(mit $\ a,b [mm] \in \IN$ [/mm] , teilerfremd und $\ a<b)$
müsste für jede Folge [mm] _{n\in\IN} [/mm] reeller Zahlen mit
[mm] \limes_{n\to\infty}x_n=r [/mm] gelten [mm] \limes_{n\to\infty}f(x_n)=f(r).
[/mm]
Nun gibt es aber zu jeder reellen Zahl sowohl
Folgen nur aus rationalen Zahlen als auch solche
nur aus irrationalen Zahlen, die zur vorgegebenen
Zahl konvergieren. Benütze die Existenz solcher
Folgen um zu einem Widerspruch zur Stetigkeit
von f an einer rationalen Stelle r zu kommen.
LG Al-Chw.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:29 Mi 20.01.2010 | | Autor: | Zeppe888 |
Ich musste vorher noch nie das Folgekriterium anwenden deswegen habe ich jetzt auch meine Probleme damit.
> Benütze die Existenz solcher
> Folgen um zu einem Widerspruch zur Stetigkeit
> von f an einer rationalen Stelle r zu kommen.
Heißt das jetzt dass ich eine Folge finden muss die gegen r konvergiert?
Wenn ja wie kommt man dann auf eine solche Folge in dem Bsp?
|
|
|
| |
|
>
> Ich musste vorher noch nie das Folgekriterium anwenden
> deswegen habe ich jetzt auch meine Probleme damit.
>
> > Benütze die Existenz solcher
> > Folgen um zu einem Widerspruch zur Stetigkeit
> > von f an einer rationalen Stelle r zu kommen.
>
> Heißt das jetzt dass ich eine Folge finden muss die gegen
> r konvergiert?
> Wenn ja wie kommt man dann auf eine solche Folge in dem
> Bsp?
Es ist gar nicht nötig, eine solche Folge konkret anzugeben.
Ihre Existenz genügt.
Sei also [mm] r=\frac{a}{b} [/mm] eine rationale Zahl zwischen 0 und 1 ,
beispielsweise [mm] r=\frac{5}{7}. [/mm] Dann ist [mm] f(r)=\frac{1}{7}.
[/mm]
In diesem Fall nehmen wir eine Folge [mm] [/mm] irrationaler
Zahlen mit Grenzwert r. Willst du trotzdem ein konkretes
Beispiel einer solchen Folge, so nimm etwa [mm] x_n:=r+\frac{\sqrt{2}}{n} [/mm] .
Für alle Glieder dieser Folge gilt [mm] f(x_n)=x_n [/mm] und deshalb
auch [mm] \limes_{n\to\infty}f(x_n)=\limes_{n\to\infty}x_n=r=\frac{5}{7}\not=f(r)
[/mm]
Damit ist gezeigt, dass f an der Stelle [mm] r=\frac{5}{7} [/mm] nicht stetig
sein kann. Diese Überlegung geht in allen Fällen analog,
solange der Zähler a des gekürzten Bruchs nicht gleich
Eins ist. Für diesen Fall muss man sich also noch etwas
einfallen lassen.
LG Al-Chw.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:30 Mi 20.01.2010 | | Autor: | Zeppe888 |
erstmal danke für die bisherigen Antworten.
Ich denke dass ich deine überlegungen nachvollziehen konnte. jetzt steht aber noch im raum was passiert wenn a=1.
Ich schätze dann kommt der zweite abschnitt der funktion zum tragen, d.h. dass auch f(x)=0 ein ergebnis sein kann für x [mm] \in \IR [/mm] \ [mm] \IQ.
[/mm]
Ist meine Vermutung richtig und wenn ja wie ist dann hier die Herangehensweise?
|
|
|
| |
|
> erstmal danke für die bisherigen Antworten.
> Ich denke dass ich deine überlegungen nachvollziehen
> konnte. jetzt steht aber noch im raum was passiert wenn
> a=1.
> Ich schätze dann kommt der zweite abschnitt der funktion
> zum tragen, d.h. dass auch f(x)=0 ein ergebnis sein kann
> für x [mm]\in \IR[/mm] \ [mm]\IQ.[/mm] ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Für irrationale x ist doch definiert: f(x):=x (nicht f(x)=0)
> Ist meine Vermutung richtig und wenn ja wie ist dann hier
> die Herangehensweise?
Nehmen wir auch ein Beispiel, etwa [mm] r=\frac{1}{3} [/mm] . Es ist
natürlich f(r)=r .
Hier würde ich nun vorschlagen, eine Folge rationaler
Zahlen zu nehmen, die gegen r konvergiert, zum Beispiel
$\ [mm] x_n\ [/mm] =\ [mm] r+\frac{1}{n}\ [/mm] =\ [mm] \frac{1}{3}+\frac{1}{n}\ [/mm] =\ [mm] \frac{n+3}{3\,n}$
[/mm]
Diese Brüche haben, auch in allenfalls gekürzter Form,
Nenner die gegen unendlich streben. Der Grenzwert der
Folge der Funktionswerte [mm] f(x_n) [/mm] ist deshalb Null und damit
verschieden von f(r).
LG Al-Chw.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:36 Mi 20.01.2010 | | Autor: | Zeppe888 |
> [mm]\ x_n\ =\ r+\frac{1}{n}\ =\ \frac{1}{3}+\frac{1}{n}\ =\ \frac{n+3}{3\,n}[/mm]
>
> Diese Brüche haben, auch in allenfalls gekürzter Form,
> Nenner die gegen unendlich streben. Der Grenzwert der
> Folge der Funktionswerte [mm]f(x_n)[/mm] ist deshalb Null und damit
> verschieden von f(r).
Strebt der Zähler nicht auch gegen unendlich, weshalb dann der Grenzwert 1/3 ist?
Die Funktion f(x)=0 stimmt schon für x [mm] \in \IR [/mm] \ [mm] \IQ. [/mm] Ist dann entweder von mir falsch abgeschrieben oder von schachuzipus falsch revidiert worden.
|
|
|
| |
|
>
> > [mm]\ x_n\ =\ r+\frac{1}{n}\ =\ \frac{1}{3}+\frac{1}{n}\ =\ \frac{n+3}{3\,n}[/mm]
>
> >
> > Diese Brüche haben, auch in allenfalls gekürzter Form,
> > Nenner die gegen unendlich streben. Der Grenzwert der
> > Folge der Funktionswerte [mm]f(x_n)[/mm] ist deshalb Null und
> damit
> > verschieden von f(r).
>
> Strebt der Zähler nicht auch gegen unendlich, weshalb dann
> der Grenzwert 1/3 ist?
> Die Funktion f(x)=0 stimmt schon für x [mm]\in \IR[/mm] \ [mm]\IQ.[/mm] Ist
> dann entweder von mir falsch abgeschrieben oder von
> schachuzipus falsch revidiert worden.
In diesem Fall hätte der erste Teil des Beweises anders
aussehen müssen, oder, besser gesagt: eine Aufteilung
in zwei Teilbeweise erübrigt sich.
Beachte die Definition der Funktion f !
Für eine gekürzte rationale Zahl [mm] r=\frac{a}{b} [/mm] ist
[mm] f(r)=\frac{1}{b} [/mm] und nicht etwa [mm] \frac{a}{b} [/mm] .
LG
|
|
|
|
