Stetigkeit in mehreren Var. < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Man untersuche die Funktion f: [mm]\IR^2 \rightarrow \IR^2[/mm] auf Stetigkeit (Hinweis: Es gilt: [mm] a+b \ge 2 \cdot \wurzel{a \cdot b}[/mm] für [mm] a,b \ge 0[/mm]
[mm]f(x,y) = \bruch{x \cdot y^2 + x^2 \cdot y}{x^2 + y^2}[/mm] für [mm](x,y)\ne (0,0)[/mm] und [mm]f(0,0) = 0[/mm] |
Hallo,
ich bräuchte Unterstützung bei obiger Aufgabenstellung. Was ich mir bisher dazu überlegt habe: Den einzigen kritischen Punkt, den man m.E untersuchen müsste, wäre der Punkt (0,0). Unter der Annahme, dass ich mich dem Punkt auf einer Gerade nähere, habe ich mal den rechtsseitigen und linksseitigen Grenzwert berechnet. Diese stimmen überein. Daher vermute ich, dass die Funktion auch im Punkt (0,0) stetig ist. Alleine mit dem rechts - und linksseitigen Grenzwert kann ich ja nicht argumentieren, da ich ja ich mich dem Punkt ja auch spiralförmig nähern kann. Ich fürchte, dass ich da nicht um einen Beweis mittels Epsilon-Delta Umgebung rumkomme, oder?
Mit dieser Beweismethode bin ich aber auch schon bei Funktionen in einer Variable auf Kriegsfuß gestanden. Daher würd ich mich freuen, wenn mir da jemand helfen könnte.
Danke!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:31 Sa 02.04.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
am einfachsten ist hier x=rcost, y=rsint einsetzen, und dann zeigen, dass der GW r gegen 0 unabhaengig von t ist(oder abhaengig, dann ist es unstetig)
Gruss leduart
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Hallo,
wenn ich das so mache, wie du das beschrieben hast, dann kann ich (wenn ich mich nicht komplett verrechnet hab) zeigen, dass der Grenzwert von r unabhängig von t ist. Nur wieso darf ich x durch r * cos(t) und y durch r * sin(t) ersetzen?
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Huhu,
> Nur wieso darf ich x durch r * cos(t) und y durch r * sin(t) ersetzen?
das ist eine einfache Transformation in ![[]](/images/popup.gif) Polarkoordinaten.
Aber der euch gegebene Hinweis lässt vermuten, dass ihr es ohne diese Transformation machen sollt.
Dazu:
Betrachte [mm] $\left|\bruch{x \cdot y^2 + x^2 \cdot y}{x^2 + y^2}\right|$ [/mm] und wende den Hinweis auf den Nenner an. Oben $x*y$ ausklammern und kürzen => fertig.
MFG,
Gono.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:23 So 03.04.2011 | | Autor: | fred97 |
Es gilt für (x,y) [mm] \ne [/mm] (0,0):
$|f(x,y)| [mm] \le \bruch{|x|x^2+|y|y^2}{x^2+y^2} \le [/mm] max [mm] \{|x|,|y|\}*\bruch{x^2+y^2}{x^2+y^2}=max \{|x|,|y|\}$
[/mm]
FRED
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Hi,
also bis jetzt ist mir die "Polarkoordinaten-Methode" am liebsten, da ich damit auf eine Lösung gekommen bin.
Mich würde es aber interessieren, wie das mit dem Hinweis in der Angabe funktioniert. Bis jetzt habe ich folgendes:
[mm]\left| \bruch{x*y^2 + x^2 * y}{x^2 + y^2} \right| = \left| \bruch{x * y * (y + x)}{x^2 + y^2} \right|[/mm]
Danach betrachte ich den Hinweis in der Angabe:
[mm]\left| \bruch{x * y * (y + x)}{2 * \wurzel{x^2 * y^2}} \right| = \left| \bruch{x * y * (y + x)}{2 * x * y}} \right|[/mm]
Durch [mm] x * y[/mm] kürzen:
[mm] \left| \bruch{y+x}{2} \right|[/mm]
==> [mm] \left| \bruch{x*y^2 + x^2 * y}{x^2 + y^2} \right| \ge \left| \bruch{y+x}{2} \right|[/mm]
Nur wie gehts jetzt weiter?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:47 Mo 04.04.2011 | | Autor: | fred97 |
Wenn Du den Hinweis richtig verwendest, erältst Du:
$|f(x,y)| [mm] \le \bruch{|x|+|y|}{2}$
[/mm]
FRED
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Achso, ist natürlich klar. Wenn ich den Nenner durch etwas kleineres abschätze, dann wird der Gesamtausdruck größer.
Ich würde nun folgendermaßen weiter argumentieren:
Eine Funktion f(x,y) ist stetig in (0,0), wenn für alle Folgen [mm] x_n \rightarrow 0 [/mm] und [mm]y_n \rightarrow 0[/mm] der Grenzwert existiert und [mm]\limes_{n \to \infty}f(x_n, y_n) = 0 [/mm] ist.
Egal welche Nullfolgen [mm]x_n[/mm] und [mm]y_n[/mm] man wählt, es gilt:
[mm]0 \le \left| f(x_n, y_n) \right| \le \right| \bruch{ \left| x_n \right| + \left| y_n \right|} {2}[/mm] für [mm]n \rightarrow \infty [/mm]
Kann man so argumentieren?
Danke derweil an die bisherigen Helfer!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:56 Di 05.04.2011 | | Autor: | fred97 |
> Achso, ist natürlich klar. Wenn ich den Nenner durch etwas
> kleineres abschätze, dann wird der Gesamtausdruck
> größer.
>
> Ich würde nun folgendermaßen weiter argumentieren:
>
> Eine Funktion f(x,y) ist stetig in (0,0), wenn für alle
> Folgen [mm]x_n \rightarrow 0[/mm] und [mm]y_n \rightarrow 0[/mm] der
> Grenzwert existiert und [mm]\limes_{n \to \infty}f(x_n, y_n) = 0[/mm]
> ist.
>
> Egal welche Nullfolgen [mm]x_n[/mm] und [mm]y_n[/mm] man wählt, es gilt:
>
> [mm]0 \le \left| f(x_n, y_n) \right| \le \right| \bruch{ \left| x_n \right| + \left| y_n \right|} {2}[/mm]
> für [mm]n \rightarrow \infty[/mm]
>
> Kann man so argumentieren?
Da fehlt noch was ! Nämlich: [mm] \bruch{|x_n|+|y_n|}{2} \to [/mm] 0 für [mm]n \rightarrow \infty[/mm]
FRED
>
> Danke derweil an die bisherigen Helfer!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:25 Di 05.04.2011 | | Autor: | Schluchti |
Besten Dank!
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