Stetigkeit in einem Punkt < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:07 Sa 14.01.2006 | | Autor: | thw |
| Aufgabe | Wahr oder falsch? Begründen sie ihre Antwort.
Jede Funktion f: [0,1] [mm] \cup \{2\}\to \IR [/mm] ist stetig in x=2. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo, also zuerst war ich der Meinung , dass die Aussage falsch ist weil sie nicht mit dem Epsilon-Kriterium zu vereinbaren ist.
Im nachhinein hab ich dann aber festgestellt, dass das nur Auslegungssache ist.
Muß delta zum Definitionsbereich gehören? Kann ich um den Punkt 2 überhaupt ein delta finden, wenn die Bereiche dort nicht definiert sind?
Wie kann ich das denn richtig interpretieren?
Danke schon mal!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:58 Sa 14.01.2006 | | Autor: | taura |
Hallo thw!
Erstmal vorweg: die Aussage ist wahr.
Das kann man auf zwei Wegen zeigen: entweder über das Folgenkriterium für Stetigkeit oder auch über die [mm] $\varepsilon-\delta-$Definition.
[/mm]
Folgenkriterium:
Für alle Folgen [mm] $x_n$ [/mm] aus dem Definitionsbereich, für die gilt: [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}x_n=x$ [/mm] muss gelten, dass [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}f(x_n)=f(x)$ [/mm] ist.
Die einzige Folge im Definitionsbereich mit Grenzwert 2 ist in deinem Fall ja die konstante Folge mit [mm] $x_n=2$ [/mm] für alle n. Und für die gilt offenbar: [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}f(x_n)=\limes_{n\rightarrow\infty}f(2)=f(2)$. [/mm] Daraus folgt Stetigkeit.
[mm] $\varepsilon-\delta-$[u]Definition:[/u]
[/mm]
$ [mm] \forall \varepsilon [/mm] > 0 : [mm] \exists \delta [/mm] > 0 : [mm] \forall [/mm] y [mm] \in U_{\delta}(x): |f(y)-f(x)|<\varepsilon [/mm] $
Sei also [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ beliebig.
Wähle [mm] $\delta [/mm] < 1$, dann ist das einzige y in der [mm] $\delta-$Umgebung [/mm] von 2 die 2 selbst. Dann gilt also: [mm] $|f(y)-f(x)|=|f(x)-f(x)|=0<\varepsilon$ [/mm] nach Voraussetzung.
Gruß taura
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:46 Sa 14.01.2006 | | Autor: | thw |
Danke für die Hilfe.
Also das mit dem epsilon-delta-kriterium hatte ich mir auch so überlegt, aber bei dem Folgenkriterium bin ich mir nicht ganz sicher.
Ich meine damit, dass der Wert an der stelle 2 nicht unbedingt 2 sein muss, oder spielt das dann keine Rolle?
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Nein, der Wert an der Stelle 2 muss sicher nicht 2 sein. Es kommt eben darauf an, wie die Funktionswerte um den Wert f(2) aussehen.
Zu deiner Frage, ob [mm] \delta [/mm] zum Definitionsbereich gehören muss: sicherlich nicht. Du kannst durchaus stetige Funktionen auf reelen Kompakta haben, sodass [mm] \delta [/mm] nicht in diesem Kompaktum liegt. Das hat damit eigentlich auch gar nichts zu tun. [mm] \delta [/mm] gibt Dir nur an, wie deine Umgebung um den Punkt x aussehen muss, damit sie komplett in eine Umgebung um f(x) abgebildet wird.
Viele Grüße
Alex
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:33 Sa 14.01.2006 | | Autor: | taura |
Hallo thw!
Nochmal zu deiner Rückfrage: Der Funktionswert an der Stelle 2 muss wirklich nicht 2 sein, das kann ein beliebiger Wert aus [mm] $\IR$ [/mm] sein. Aber das ist egal, denn nichts destotrotz ist es ja immer der gleiche Wert.
Ich nenne mal $f(x)=:y$ und die [mm] $f(x_n)=:y_n$. [/mm] Dann ist ja nicht gefragt, dass [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}y_n=x$ [/mm] sondern [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}y_n=\green{y}$
[/mm]
Nun sind aber die [mm] x_n [/mm] alle gleich 2. Das heißt, die [mm] y_n [/mm] sind auch alle gleich, denn sie sind alle der Funktionswert von 2, genauso wie das y. Also ist die Folge der [mm] y_n [/mm] eine Konstante Folge mit Grenzwert y. Welcher Wert das ist, spielt dabei keine Rolle.
Hoffe jetzt wurde es klarer 
Gruß taura
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