Stetigkeit in Räumen(knifflig) < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:24 Do 10.05.2007 | | Autor: | Nobody07 |
| Aufgabe | | Sei X = C [mm] \cup [/mm] D mit C,D [mm] \subset [/mm] Xabgeschlossen. Weiter sei f : X [mm] \to [/mm] Y eine Funktion mit der Eigenschaft [mm] f|_{C} [/mm] und [mm] f|_{D} [/mm] stetig sind. Zeigen sie, dass d stetig. |
So da hab ich mir folgende Gedanken gemacht!
[mm] f|_{C} [/mm] : C [mm] \to [/mm] Y stetig [mm] f|_{C} [/mm] := [mm] f_{0}
[/mm]
[mm] f|_{D} [/mm] : D [mm] \to [/mm] Y stetig [mm] f|_{D} [/mm] := [mm] f_{1}
[/mm]
Sei Z [mm] \subset [/mm] Y abgeschlossen sind [mm] f_{0}^{-1} [/mm] : Z [mm] \to [/mm] C und [mm] f_{1}^{-1} [/mm] : Z [mm] \to [/mm] D abgeschlossen in C oder D je nach Wahl von [mm] f_{i}^{-1} [/mm] und weil diese abgeschlossen sind auch in X.
[mm] \Rightarrow f^{-1}(Z) [/mm] = [mm] f_{0}^{-1}(Z) \cup f_{1}^{-1}(Z) [/mm] abgeschlossen in X also auch in C [mm] \cup [/mm] D
Die Urbilder abgeschlossener Mengen sind somit abgeschlossen [mm] \Rightarrow [/mm] f ist stetig
so würde mich über komentare zu meiner Lösung freuen!
Mfg Nobody
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> Sei X = C [mm]\cup[/mm] D mit C,D [mm]\subset[/mm] Xabgeschlossen. Weiter sei
> f : X [mm]\to[/mm] Y eine Funktion mit der Eigenschaft [mm]f|_{C}[/mm] und
> [mm]f|_{D}[/mm] stetig sind. Zeigen sie, dass f stetig.
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Die Gedanken Deines Lösungsansatzes sind richtig,
Eine (einfach zu schließende) Lücke habe ich gefunden.
> So da hab ich mir folgende Gedanken gemacht!
>
> [mm]f|_{C}[/mm] : C [mm]\to[/mm] Y stetig [mm]f|_{C}[/mm] := [mm]f_{0}[/mm]
> [mm]f|_{D}[/mm] : D [mm]\to[/mm] Y stetig [mm]f|_{D}[/mm] := [mm]f_{1}[/mm]
>
> Sei Z [mm]\subset[/mm] Y abgeschlossen.
Dann
> sind [mm]f_{0}^{-1}[/mm] : Z [mm]\to[/mm] C und
> [mm]f_{1}^{-1}[/mm] : Z [mm]\to[/mm] D abgeschlossen
Das ist Unfug. Eine Funktion kann nicht abgeschlossen sein.
(Natürlich meinst Du das Richtige - schreib' es dann auch.)
> in C oder
bzw.
> D je nach Wahl von [mm][mm] f_{i}^{-1} [/mm] und weil diese abgeschlossen sind auch in X.
>
>
>
> [mm]\Rightarrow f^{-1}(Z)[/mm] = [mm]f_{0}^{-1}(Z) \cup f_{1}^{-1}(Z)[/mm]
> abgeschlossen in X also auch in C [mm]\cup[/mm] D
Diesem Schluß folge ich noch nicht:
Daß [mm] f_{0}^{-1}(Z) \cup f_{1}^{-1}(Z) [/mm] abgeschlossen in X als Vereinigung abgeschlossener Mengen abgeschlossen ist, leuchtet mir ein.
Aber warum ist [mm] f^{-1}(Z) [/mm] = [mm] f_{0}^{-1}(Z) \cup f_{1}^{-1}(Z).
[/mm]
Da scheint es mir noch Erklärungsbedarf zu geben.
>
> Die Urbilder abgeschlossener Mengen sind somit
> abgeschlossen
Es ist nun gezeigt, daß das Urbild einer jeden abgeschlossenen Menge abgeschlossen ist,
> [mm]\Rightarrow[/mm] f ist stetig
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:51 Mo 14.05.2007 | | Autor: | Nobody07 |
Danke für die Hilfe habs gecheckt!
Bye Flo
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