Stetigkeit in Intervallen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo !
Nachdem mich Mathe mal 2 Wochen nicht an den Rande des Selbstmordes getrieben hat, habe ich erneut Probleme mit einer Aufgabe:
Sei n [mm] \to r_{n} [/mm] eine Abzählung der rationalen Zahlen im Intervall I = [0,1].
Für x [mm] \in [/mm] I definiere:
A(x) = {n [mm] \in \IN: r_{n} [/mm] < x}
und
f(x) = [mm] \summe_{n \in A(x)} 2^{-n}.
[/mm]
Dann ist die Einschränkung [mm] \mu [/mm] von f auf die Menge der irrationalen Zahlen stetig: [mm] \mu [/mm] kann aber auch nicht als stetige Funktion auf ganz I fortgesetzt werden.
Meine Frage ist nun: Was bedeutet das eigentlich, wie soll ich das zeigen und was wird mir das im Bezug auf mein weiteres Leben bringen...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:49 Mo 27.06.2005 | | Autor: | SEcki |
> Meine Frage ist nun: Was bedeutet das eigentlich,
Das die so definierte Funktion stetig in allen irrationalen Zahlen ist. Und dann zeige am besten, daß es in jeder rationalen Zahl unstetig ist, viel mehr noch: man kann nicht stetig fortsetzen, und dazu am besten: Grenzwert von unten und von oben sind unterschiedlich.
> wie soll ich das zeigen
In irrationalen: dann musst du für jedes Epsilon zeigen, daß du eine Umgebung finden kannst, in der die Funktionswerte nur um Epsilon von dem abweichen - und dafür überlege dir, daß [m]\sum 2^{-n}[/m] konvergiert, also das jeweils die hinteren Teile jedes Epsion unterschreiten, also nur endlich viele rationale Zahlen "große" (mehr als Epsilon große) Veränderungen bewirken können. Zu den irrationalen: versuche doch mal den Grenzwert von oben und von unten zu "berechnen" - da muss ein Unterschied rauskommen, wie groß ist der?
Falls du es kennst: versuch dich mal an der Funktion zu inspirieren, die für irrationale immer 0, für rationale der Nenner ist (bei gekürztem Bruch!).
> und was wird mir das im Bezug auf mein
> weiteres Leben bringen...
Eine schöne Aufgabe, an der man sein Wissen über Stetigkeit anwenden kann. Erkenntnis so zu sagen... es gibt Funktionen, die auf einer dichten Teilmenge unstetig sind, das ist doch mal was - nicht nur immer zwei, drei "Sprungpunkte".
SEcki
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Danke für die schnelle Antwort !
Die Konvergenz konnte ich auch recht gut beweisen (zumindest wenn [mm] \bruch{1}{n^{2}} [/mm] eine konvergente Majorante ist) !
Leider bin ich trotz Latinum erneut mit meinem Latein am Ende...
Sicher, dass Du hier:
"Zu den irrationalen: versuche doch mal den Grenzwert von oben und von unten zu "berechnen" - da muss ein Unterschied rauskommen, wie groß ist der?" irrotional meinst und wenn ja oder wenn nein (verstehe ich weder mit rational noch mit irrational), wie komme ich denn dann weiter, wie verwende ich das Intervall ?
P.S.: Mir fallen ein paar viel schönere Aufgaben ein, an denen ich mein Wissen über Stetigkeit anwenden kann, aer leider stehen die nicht auf meinem Üungszettel ;)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:43 Di 28.06.2005 | | Autor: | SEcki |
> Danke für die schnelle Antwort !
> Die Konvergenz konnte ich auch recht gut beweisen
> (zumindest wenn [mm]\bruch{1}{n^{2}}[/mm] eine konvergente Majorante
> ist) !
O jemine - das ist immer eine Teilreihe der geometrischen Reihe! Das sieht man also quasi "sofort".
> Leider bin ich trotz Latinum erneut mit meinem Latein am
> Ende...
Wir machen auch Mathe ...
> Sicher, dass Du hier:
> "Zu den irrationalen: versuche doch mal den Grenzwert von
> oben und von unten zu "berechnen" - da muss ein Unterschied
> rauskommen, wie groß ist der?" irrotional meinst und wenn
> ja oder wenn nein (verstehe ich weder mit rational noch mit
> irrational),
Tipfehler: ich meinte rational.
> wie komme ich denn dann weiter, wie verwende
> ich das Intervall ?
Wieso Intervall? Du hast doch für die rationale Zahl mit der Abzählung eine Zahl [m]2^{-n_r}[/m]. Kannst du die Werte der Funktion, die kleiner gleich dem rationalen Wert sind berechnen? Was passiert rechts davon? Musst du dann in der Rehie immer obiges [m]2^{-n_r}[/m] raufaddieren? Was ist bei den Zahlen, die kleiner gleich sind?
> P.S.: Mir fallen ein paar viel schönere Aufgaben ein, an
> denen ich mein Wissen über Stetigkeit anwenden kann, aer
> leider stehen die nicht auf meinem Üungszettel ;)
Welche? Die Identität ist stetig, oder wie?
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:38 Mi 13.12.2006 | | Autor: | hanseseppl |
wieso sind mathematiker nur so oft arrogante ärsche?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:10 Mi 13.12.2006 | | Autor: | SEcki |
> wieso sind mathematiker nur so oft arrogante ärsche?
Toller, infantiler Kommentar zu einem 1,5 Jahre, abgeschlossenen Thread! Da hat sich jemand aber sehr Mühe gemacht ... ich lach mich fast tot. Beleidgst du gerne? Na dann!
SEcki
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