Stetigkeit in IQ zeigen < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:33 Mi 17.03.2010 | | Autor: | ChopSuey |
| Aufgabe | Die Funktion $\ f: [mm] \IQ \to \IR [/mm] $ werde definiert durch:
$\ f(x) := [mm] \begin{cases} 0, & \mbox{falls } x < \wurzel{2} \\ 1, & \mbox{falls } x > \wurzel{2} \end{cases} [/mm] $
Man zeige, dass $\ f $ auf ganz $\ [mm] \IQ [/mm] $ stetig ist. |
Hallo,
ich weiß nicht so recht, wie diese Aufgabe anzugehen ist.
Da für alle rationalen $\ x < [mm] \wurzel{2} [/mm] $ gilt $\ f(x) = 0 $ und für $\ x> [mm] \wurzel{2} [/mm] $ gilt $\ f(x) = 1 $, muss ich nur die Stetigkeit in $\ 0 $ und $\ 1 $ untersuchen, oder?
Ich dachte an folgendes:
Sei $\ [mm] (x_n) [/mm] $ eine Folge rationaler Zahlen mit $\ [mm] \lim x_n [/mm] = x = 0 $
Dann gilt $\ [mm] |x_n [/mm] - x | = | [mm] x_n [/mm] | < [mm] \varepsilon [/mm] $ für alle $\ n > [mm] n_0 [/mm] $
Hier häng ich dann allerdings fest.
Ich weiß nicht so recht, ob ich ueberhaupt auf dem richtigen Weg bin und falls ja, ob ich, da ich mich mit diesem Ansatz mehr oder weniger für das $\ [mm] \varepsilon-\delta$-Kriterium [/mm] entschieden habe, weiter machen muss.
Vor allem weiß ich nicht, wie ich so ein $\ [mm] \delta$ [/mm] mit einbringen kann.
Wie mach ich das richtig?
Danke
Grüße
ChopSuey
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:51 Mi 17.03.2010 | | Autor: | Fawkes |
Hi,
also spontan würde ich jetzt mal tippen, das du die Stetigkeit überprüfst indem du [mm] x=\wurzel{2} [/mm] betrachtest, da für Stetigkeit die Funktion ja durchgezeichnet werden muss und ansonsten bei [mm] x=\wurzel{2} [/mm] nen Sprung macht. Kann das jedenfalls nicht mit der Epsilon-Delta Beziehung, deshalb kann ich dir darauf keine Antwort geben. Hab es immer mit der Komposition stetiger Funktionen begründet und den wunden Punkt mit l´Hospital untersucht...
Gruß Fawkes
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:56 Mi 17.03.2010 | | Autor: | ChopSuey |
Hi,
danke für deine Mitteilung aber $\ x = [mm] \wurzel{2} \not\in \IQ [/mm] $ ist für die Aufgabenstellung nicht relevant, da $\ f $ auf ganz $\ [mm] \IQ [/mm] $ stetig sein soll.
So ein $\ x = [mm] \wurzel{2} [/mm] $ gibt es in $\ [mm] \IQ [/mm] $ nicht.
Grüße
ChopSuey
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:05 Do 18.03.2010 | | Autor: | SEcki |
> Da für alle rationalen [mm]\ x < \wurzel{2}[/mm] gilt [mm]\ f(x) = 0[/mm]
> und für [mm]\ x> \wurzel{2}[/mm] gilt [mm]\ f(x) = 1 [/mm], muss ich nur die
> Stetigkeit in [mm]\ 0[/mm] und [mm]\ 1[/mm] untersuchen, oder?
Wie kommst du auf den Unfug? Die offenbare Fallunterscheidung ist doch [m]x<\sqrt{2},x>\sqrt{2}[/m]!?
> Ich dachte an folgendes:
>
> Sei [mm]\ (x_n)[/mm] eine Folge rationaler Zahlen mit [mm]\ \lim x_n = x = 0[/mm]
>
> Dann gilt [mm]\ |x_n - x | = | x_n | < \varepsilon[/mm] für alle [mm]\ n > n_0[/mm]
Und weiter?
> Hier häng ich dann allerdings fest.
> Ich weiß nicht so recht, ob ich ueberhaupt auf dem
> richtigen Weg bin
Nö.
> und falls ja, ob ich, da ich mich mit
> diesem Ansatz mehr oder weniger für das [mm]\ \varepsilon-\delta[/mm]-Kriterium
> entschieden habe, weiter machen muss.
Aber du wirst für jedes rationale x ein [mm]\varepsilon[/mm] finden mit [m]\sqrt{2}\notin [x-\varepsilon,x+\varepsilon][/m]. Und wie sieht auf solchen Intervallen dann f aus?
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:20 Do 18.03.2010 | | Autor: | ChopSuey |
Hallo,
> > und falls ja, ob ich, da ich mich mit
> > diesem Ansatz mehr oder weniger für das [mm]\ \varepsilon-\delta[/mm]-Kriterium
> > entschieden habe, weiter machen muss.
>
> Aber du wirst für jedes rationale x ein [mm]\varepsilon[/mm]
> finden mit [m]\sqrt{2}\notin [x-\varepsilon,x+\varepsilon][/m].
> Und wie sieht auf solchen Intervallen dann f aus?
Zu solchen Intervallen gibt es entsprechende $\ [mm] \delta [/mm] > 0 $ mit $\ [mm] f(\wurzel{2}) \not\in [x-\delta, x+\delta] [/mm] $ ?
Ich weiß noch nicht, wie ich so zeigen kann, dass $\ f $ auf ganz $\ [mm] \IQ [/mm] $ stetig ist.
>
> SEcki
Grüße
ChopSuey
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:53 Do 18.03.2010 | | Autor: | SEcki |
> Zu solchen Intervallen gibt es entsprechende [mm]\ \delta > 0 [/mm]
> mit [mm]\ f(\wurzel{2}) \not\in [x-\delta, x+\delta][/mm] ?
Das ist doch offensichtlich Unsinn - wie du selbst schon geschrieben hast, ist [m] f(\wurzel{2})[/m] nicht definiert!
> Ich weiß noch nicht, wie ich so zeigen kann, dass [mm]\ f[/mm] auf
> ganz [mm]\ \IQ[/mm] stetig ist.
Indem du erstmal überlegst, wie die Werte von f eben auf den von mir gesagten Intervallen aussehen (Fallunterschiedung!).
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 02:23 Do 18.03.2010 | | Autor: | ChopSuey |
Hallo,
> Aber du wirst für jedes rationale x ein [mm]\varepsilon[/mm]
> finden mit [m]\sqrt{2}\notin [x-\varepsilon,x+\varepsilon][/m].
> Und wie sieht auf solchen Intervallen dann f aus?
>
Für $\ x < [mm] \wurzel{2} [/mm] $ ist $\ f(x) = 0 $ für das Intervall $\ [mm] [x-\varepsilon,x+\varepsilon] [/mm] $
Für $\ x > [mm] \wurzel{2} [/mm] $ ist $\ f(x) = 1 $ für das Intervall $\ [mm] [x-\varepsilon,x+\varepsilon] [/mm] $
Und da konstante Funktionen in ihrem Definitionsbereich immer stetig sind, ist $\ f $ aus ganz $\ [mm] \IQ [/mm] $ stetig. Stimmt das?
Ist damit schon alles gezeigt, oder wie?
Grüße
ChopSuey
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:28 Do 18.03.2010 | | Autor: | SEcki |
> Für [mm]\ x < \wurzel{2}[/mm] ist [mm]\ f(x) = 0[/mm] für das Intervall [mm]\ [x-\varepsilon,x+\varepsilon][/mm]
>
> Für [mm]\ x > \wurzel{2}[/mm] ist [mm]\ f(x) = 1[/mm] für das Intervall [mm]\ [x-\varepsilon,x+\varepsilon][/mm]
Ja.
> Und da konstante Funktionen in ihrem Definitionsbereich
> immer stetig sind, ist [mm]\ f[/mm] aus ganz [mm]\ \IQ[/mm] stetig. Stimmt
> das?
Holprig! Obiges zeigt Stetigkeit in jedem x! Aber im Prinzip ...
> Ist damit schon alles gezeigt, oder wie?
Ja. Die Aufgabe ist einfach und es ist nicht viel zu tun.
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:39 Do 18.03.2010 | | Autor: | ChopSuey |
Hallo,
>
> > Ist damit schon alles gezeigt, oder wie?
>
> Ja. Die Aufgabe ist einfach und es ist nicht viel zu tun.
>
Alles klar. Vielen Dank für Deine Hilfe.
> SEcki
Viele Grüße
ChopSuey
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