Stetigkeit in (0,0) zeigen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:57 Fr 16.05.2008 | | Autor: | kiri111 |
| Aufgabe | Sei [mm] f:\IR^2 \to \IR^2, f(x,y):=\begin{cases} \bruch{y^5}{2x^4+y^4}, & \mbox{für } (x,y)\not=(0,0) \\ 0, & \mbox{für } (x,y)=(0,0) \end{cases}.
[/mm]
Zeige, dass f stetig in (0,0) ist. |
Hallo,
ich habe leider keine Vorstellung, wie man an so eine Aufgabe ran geht, da wir es in der Vorlesung noch nicht hatten. Ich aber schon etwas vorarbeiten möchte. Würde mich also über Tipps freuen.
Lieben Dank
kiri
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Hallo kiri111,
> Sei [mm]f:\IR^2 \to \IR^2, f(x,y):=\begin{cases} \bruch{y^5}{2x^4+y^4}, & \mbox{für } (x,y)\not=(0,0) \\ 0, & \mbox{für } (x,y)=(0,0) \end{cases}.[/mm]
$f$ geht doch eher von [mm] $\IR^2\to\IR$
[/mm]
>
> Zeige, dass f stetig in (0,0) ist.
> Hallo,
> ich habe leider keine Vorstellung, wie man an so eine
> Aufgabe ran geht, da wir es in der Vorlesung noch nicht
> hatten. Ich aber schon etwas vorarbeiten möchte. Würde mich
> also über Tipps freuen.
>
> Lieben Dank
> kiri
Du kennst ja bestimmt das Folgenkriterium, oder?
Du müsstest zeigen, dass mit einer beliebigen Folge [mm] $(x_n,y_n)$ [/mm] mit [mm] $\lim\limits_{n\to\infty}(x_n,y_n)=(0,0)$ [/mm] gefälligst auch [mm] $\lim\limits_{n\to\infty}f(x_n,y_n)=f(0,0)=0$ [/mm] ist
Das ist im [mm] $\IR^2$ [/mm] nicht so einfache wie im [mm] $\IR$, [/mm] wo du dich ja einem Punkt nur von 2 Seiten (oben und unten) nähern kannst.
Im [mm] \IR^2 [/mm] kannst du die auch von der Seite oder spiralförmig usw. nähern.
Darum ist es oft ganz nützlich, es mal in Polarrkoordinatendarstellung zu versuchen:
Schreibe für [mm] $(x,y)=(r\cdot{}\cos(\phi),r\cdot{}\sin(\phi))$ [/mm] und setze das mal ein.
r=Länge des Vektors $(x,y)$, [mm] $\phi$ [/mm] = Winkel, den $(x,y)$ mit der x-Achse einschließt
Setzte also alles in die Abbildungsvorschrift ein und lasse [mm] $r\to [/mm] 0$ gehen, also die Länge.
Wenn du einen GW herausbekommst, der unabhängig vom Winkel, also von [mm] $\phi$ [/mm] ist, und der hier zudem noch 0 ist, so ist f in (0,0) stetig
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:33 Fr 16.05.2008 | | Autor: | kiri111 |
Wunderbar, da leuchtet mir ein und das habe ich hinbekommen! 
Nun eine weitere Frage. Weiterhin sei die Funktion [mm] g:\IR \to \IR^2 [/mm] gegeben und zwar mit g(t):=(t,t). Ich soll nun D(f [mm] \circ [/mm] g)(0,0), D(g)(0) und das Skalarprdoukt [mm] <(f_x(0,0), f_y(0,0)), [/mm] D(g)(0)> berechnen und die Frage beantworten, wieso es kein Widerspruch zur Kettenregel ist...
Also ich habe schon D(g)(0)=(1,1) und damit auch [mm] <(f_x(0,0), f_y(0,0)), [/mm] D(g)(0)>=<(0,0), (1,1)>=0
Aber wie berechne ich D(f [mm] \circ [/mm] g)(0,0)? Wie verkette ich f und g und wieso ist das Ergebnis kein Widerspruch zur Kettenregel?
Wäre nett, wenn du dir darüber nochmal Gedanken machen und mir helfen könntest. :)
Vielen lieben Dank
kiri
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:44 Fr 16.05.2008 | | Autor: | fred97 |
Die Verkettung nach der Du fragst ist f(g(t)).
Kannst du auf diese Verkettung zur Differentiation in t=0 die Kettenregel anwenden ?
Nein !
Denn f ist in (0,0) nicht differenzierbar ! Warum? Nachweis ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:12 Fr 16.05.2008 | | Autor: | kiri111 |
Hallo,
alles klar. :=)
Aber nochmal die doofe Frage, wie zeige ich, dass f in (0,0) nicht differenzierbar ist???
Liebe Grüße
kiri
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:17 Fr 16.05.2008 | | Autor: | fred97 |
Dazu brauchst Du die Def. der Diffbarkeit im [mm] R^n.
[/mm]
Die kennst du sicher
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:28 Fr 16.05.2008 | | Autor: | kiri111 |
Hallo,
wie gesagt, wir hatten es in der Vorlesung selbst noch nicht. Aber im Internet finde ich diese hier:
f heißt differenzierbar, wenn eine lineare Abbildung L existiert, so dass [mm] \limes_{x\rightarrow x_0} \bruch{||f(x)-f(x_0)-L(x-x_0)||}{||x-x_0||}
[/mm]
Ist das die Richtige?
Viele Grüße
kiri
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:19 Fr 16.05.2008 | | Autor: | klaras |
Hallo,
Ja das ist die richtige Definition.
Am besten schaust du aber nochmal in einem Script nach wie z.B: ![[]](/images/popup.gif) HM-Script. Hier findest du auch eine gute Motivation für die Differenzierbarkeit im [mm] \IR^{n} [/mm]
Gruß,
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:48 Fr 16.05.2008 | | Autor: | kiri111 |
Hallo,
danke für den sehr nützlichen Link. Ich bedanke mich vielmals für eure Hilfe!
Liebe Grüße
Florian
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