Stetigkeit im R² < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:15 Sa 10.07.2004 | | Autor: | Micha |
Hallo!
der Beweis sollte ziemlich banal sein, aber ich bekomme ihn nich hin. Gegeben ist eine Funktion
[mm] µ : \IR^2 \rightarrow \IR , (x_1 , x_2) \to x_1 x_2 [/mm]
Zu zeigen ist, dass µ stetig ist. Für
[mm] \alpha : \IR^2 \rightarrow \IR , (x_1, x_2 ) \to x_1 + x_2 [/mm] wurde der Beweis vorgemacht. Ein Einzeiler:
[mm] d(\alpha (x_k ), \alpha (p)) = \left| (x_{k1} + x_{k2}) - (p_1 + p_2) \right| \le \left| x_{k1} - p_1 \right| + \left| x_{k2} + p_2\right|[/mm]
und dann folgert er: [mm] \lim \alpha (x_k) = \alpha (p) [/mm] und damit die Komponenten gegen null, damit die rechte Seite = 0 und damit alpha stetig. Der beweis ist für mich auch einleuchtend, aber bei der Multiplikation komm ich nich weiter :-(
Vielen Dank schonmal, euer Micha
PS: Ich liebe solche Beweise in Scripten, wo einem eigentlich alles klar sein solte... *Ironie ON*
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:29 Sa 10.07.2004 | | Autor: | andreas |
hi Micha
das ist so ein standardtrick, den man halt einmal gesehn haben muss:
sei also [m] x^k = (x_1^k, x_2^k) \stackrel{k \to \infty}{\longrightarrow} x = (x_1, x_2) [/m] eine gegen x kovergente folge, dann gilt:
[m] | \alpha(x) - \alpha(x^k) | = |x_1 x_2 - x_1^k x_2^k| =| x_1 x_2 - x_1^k x_2 + x_1^k x_2 - x_1^k x_2^k | = | x_2( x_1 - x_1^k) + x_1^k (x_2 - x_2^k) | \leq | x_2( x_1 - x_1^k)| + | x_1^k (x_2 - x_2^k) | = |x_2|| x_1 - x_1^k| + |x_1^k||x_2 - x_2^k| [/m]
der letzte term geht aber für k gegen unendlich gegen null (beim ersten summanden ist das klar - beim zweiten kannst du dir das mal kurz überlegen. kleiner tipp: beschränktheit konvergenter folgen). daraus folgt dann aber auch die stetigkeit von alpha!
probiere mal, ob du alleine weiterkommst und den beweis vielleicht noch etwas formaler führen kannst, sonst melde dich einfach nochmal!
gruß andreas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:36 Sa 10.07.2004 | | Autor: | Micha |
hmm, soweit war ich ja, nur die Argumentation am Ende hat mir noch gefehlt. Fazit: Formal kann ichs ja, nur ich trau mich irgendwie nich, sowas daraus zu folgern..
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