Stetigkeit f(x,y)=... < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:26 Mi 10.05.2006 | | Autor: | DeusRa |
| Aufgabe | In welchen Punkten des [mm] \IR² [/mm] ist die Abbildung [mm] f:\IR²\to\IR
[/mm]
[mm] f(x,y)=\begin{cases} 0 & \mbox{falls } (x,y)=(0,0) \mbox{ } \\ \bruch{2xy²}{x²+y²} & \mbox{falls } (x,y)\not=(0,0) \mbox{ } \end{cases}
[/mm]
stetig ?? |
Also,
an sich ist es ja nicht so schwer zu zeigen. Aber ich komme an einer Stelle nicht weiter.
Also zunächst ist klar, dass f stetig in allen [mm] (x,y)\not=(0,0) [/mm] ist, da [mm] x²+y²\not=0 [/mm] ist, und somit ist der Bruch stetig.
Aber wie sieht es denn mit (x,y)=(0,0) aus ??
Ich habe da eine Lösung, weiß aber nicht ob die richtig ist.
Lösung:
f ist stetig in (x,y)=(0,0), denn:
Sei [mm] a_n:=(\bruch{1}{n}, \bruch{1}{n}), [/mm] dann folgt [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (\bruch{1}{n}, \bruch{1}{n})=(0,0)=:a.
[/mm]
Also [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_n=a.
[/mm]
Jetzt sollte [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}f(a_n)= \limes_{n\rightarrow\infty}f(a) [/mm] sein.
Also es sollte gelten [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} f(\bruch{1}{n}, \bruch{1}{n})=f(0,0)=0, [/mm] falls f stetig sein sollte.
Also:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}f(a_n)=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{2}{n^3}*\bruch{n²}{2}=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{n}=0=f(0,0).
[/mm]
also ist f in (x,y)=(0,0) stetig.
Ist es so richtig ?
Wenn nicht, wo liegt der Fehler.
(Gibt es evtl. eine Folge die dann nicht gegen Null geht ??)
Danke schon mal.
DeusRa
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:36 Do 11.05.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo
nimm mal die Folge [mm] (1/n,1/\wurzel{n}) [/mm] oder (1/n,1/ [mm] \wurzel[4]{n})
[/mm]
einfach so, dass der Nenner gleich schnell oder scneller gegen 0 geht als der Zähler!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:52 Do 11.05.2006 | | Autor: | DeusRa |
Ok.
Habe es mit $ [mm] (1/n,1/\wurzel{n}) [/mm] $ gemacht, geht dann schneller gegen Null.
Aber ist meine Lösung oben jetzt richtig, oder nicht ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:40 Do 11.05.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Rados
Dein Weg ist kein Beweis, weil du nur auf der Winkelhalbierenden auf (0,0) zuläufst. auf anderen Wegen könnte es anders sein. Unstetigkeit kann man beweisen, wenn man irgendeinen Weg findet, auf dem der Grenzwert nicht gleich dem Funktionswert ist. Ich dachte ich hätte nen Weg gesehen, auf dem man nen anderen Grenzwert kriegt, war leider falsch, deshalb war mein letzter post sinnlos!
Stetigkeit geht nur mit [mm] \varepsilon, \delta [/mm] also zu jedem [mm] \varepsilon>0 [/mm] gibt es ein [mm] \delta, [/mm] so dass für [mm] \wurzel{x^2+y^2}<\delta [/mm] folgt [mm] |f(x)-0|<\varepsilon.
[/mm]
hier geht das wohl zu beweisen.
Gruss leduart
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