Stetigkeit f(x,y) < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:24 So 10.04.2011 | | Autor: | kushkush |
| Aufgabe | Man untersuche die Funktion mit $f: [mm] \IR^{2} \rightarrow \IR$ [/mm] auf Stetigkeit:
[mm] $f(x,y)=\frac{xy^{2}}{x^{2}+y^{4}}$ [/mm] für $(x,y) [mm] \ne [/mm] (0,0), ~ f(0,0) = 0$. |
Hallo,
also ich habe folgende Fälle untersucht:
$lim1 := [mm] \limes_{x \rightarrow 0}; [/mm] ~ lim2:= [mm] \limes_{y \rightarrow 0}$
[/mm]
$lim1 f(0,x)=0$
$lim1 f(x,0)=0$
$lim1(x,x)=0$
$lim2(0,y)=0$
$lim2(y,0)=0$
$lim2(y,y)=0$
f(x,y) ist also stetig...?
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Danke und Gruss
kushkush
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:46 So 10.04.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich seh nicht wie du etwa auf lim1 f(x,x) =0 kommst.
aber selbst wenn du damit recht hast, hast du genau 4 spezielle wege nach 0 untersuch wobei f(x,x) und f(y,y) ja noch derselbe weg ist.
Stetig ist es nur wenn in jeder Umgebung von (0,0) [mm] |f(x,y)-0|<\epsilon.
[/mm]
am besten betrachtet man dazu fast immer x=rcos(t) y=r(sin(t) mit r gegen 0 muss der GW unabhängig von t sein.
Falls man Unstetigkeit vermutet reicht ein Weg, auf dem man 0 mit einem anderen GW erreicht.
hier etwa [mm] x=y^2 [/mm] was ist dann der GW?
Gruss leduart
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Hallo kushkush,
leduart hat ja schon Dein Ergebnis zu Recht bezweifelt und den allgemeinen Ansatz, der meist praktikabel ist, angeführt.
Hier schreit die Funktion geradezu nach einer Untersuchung entlang einer Winkelhalbierenden. Dann steht im Zähler eine Funktion dritten und im Nenner eine vierten Grades. Das kann nicht gutgehen, und z.B. entlang x=y findet sich (nach dreimaligem de l'Hospital) auch eine Unstetigkeit. Und eine genügt...
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:37 Mo 11.04.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo leduart und reverend,
> lim1 f(x,x) falsch
ja, das gibt mit l'hopital : [mm] $lim1\frac{6}{24x}= \infty$ [/mm]
> versuch [mm] x=y^{2}
[/mm]
das gibt: [mm] $lim2\frac{y^{4}}{2y^{4}}=\frac{1}{2}$ [/mm]
> guter ansatz ist : x=rcos(t) y=rsin(t)
mit 3 mal l'hopital auf : [mm] $\limes_{r\rightarrow 0} \frac{6cos(t)sin(t)^{2}}{24rsin(t)^{4}}$ [/mm] und den Winkel t kann ich wählen...??
> Gruss
> GrüBe
Danke!
Gruss
kushkush
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Hallo nochmal,
fast...
> > lim1 f(x,x) falsch
>
> ja, das gibt mit l'hopital : [mm]lim1\frac{6}{24x}= \infty[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> > versuch [mm]x=y^{2}[/mm]
>
> das gibt: [mm]lim2\frac{y^{4}}{2y^{4}}=\frac{1}{2}[/mm]
Also schonmal zwei verschiedene Grenzwerte am Nullpunkt, und beide nicht der gesetzte Wert Null. Also mit beiden Untersuchungsmethoden: unstetig.
> > guter ansatz ist : x=rcos(t) y=rsin(t)
>
> mit 3 mal l'hopital auf : [mm]\limes_{r\rightarrow 0} \frac{6cos(t)sin(t)^{2}}{24rsin(t)^{4}}[/mm]
> und den Winkel t kann ich wählen...??
Die Rechnung stimmt so nicht. Den l'Hospital kannst Du gar nicht anwenden, der Nenner wird ja nie Null (und auch nie Unendlich).
Allerdings müsste dieser Grenzwert in der Tat für beliebiges t gegen Null laufen, wenn die Funktion im Ursprung stetig sein sollte. Man findet aber leicht Werte für t, bei denen das nicht der Fall ist. Um genau zu sein, gilt das sogar für alle t, die nicht als [mm] t=\bruch{k\pi}{2} [/mm] darstellbar sind.
> Danke!
Gern doch.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 02:05 Mo 11.04.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo,
> daumenhoch
> daumenhoch
> kein lhopital
mit $x=rcos(t)$ und $y=rsin(t)$ folgt für $f(x,y)$
[mm] $f(rcos(t),rsin(t))=\frac{r^{3}cos(t)sin(t)^{2}}{r^{2}cos(t)^{2}+r^{4}sin(t)^{4}}$ [/mm]
[mm] $\limes_{r\rightarrow 0} \frac{r^{3}cos(t)sin(t)^{2}}{r^{2}cos(t)^{2}+r^{4}sin(t)^{4}} \rightarrow \frac{0}{0}$ [/mm]
wieso jetzt kein lhopital?
> GrüBe
Danke
Gruss
kushkush
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Hallo nochmal,
ich sollte wohl mal ins Bett. Mein Hirn produziert krause Dinge. Du hast (fast) Recht. Ich aber leider nicht...
> mit [mm]x=rcos(t)[/mm] und [mm]y=rsin(t)[/mm] folgt für [mm]f(x,y)[/mm]
>
> [mm]f(rcos(t),rsin(t))=\frac{r^{3}cos(t)sin(t)^{2}}{r^{2}cos(t)^{2}+r^{4}sin(t)^{4}}[/mm]
>
> [mm]\limes_{r\rightarrow 0} \frac{r^{3}cos(t)sin(t)^{2}}{r^{2}cos(t)^{2}+r^{4}sin(t)^{4}} \rightarrow \frac{0}{0}[/mm]
>
> wieso jetzt kein lhopital?
Da wir erstmal noch vor dem Grenzübergang sind, darfst Du getrost [mm] r^2 [/mm] kürzen. Dann einmal l'Hospital:
[mm] \to \lim_{r\to 0}\bruch{r\cos{t}\sin^2{t}}{\cos^2{t}+r^2\sin^2{t}}=\lim_{r\to 0}\bruch{\cos{t}\sin^2{t}}{2r\sin^2{t}}=\lim_{r\to 0}\bruch{\cos{t}}{2r}
[/mm]
...natürlich nur für [mm] \sin{t}\not=0, [/mm] ein Fall, den man noch untersuchen muss. Auch [mm] \cos{t} [/mm] ist nun noch zu betrachten. Für alle anderen t kann der Grenzwert aber nicht Null werden (was hier als Ergebnis ja schon genügt).
Na dann, gute Nacht. Vielleicht sieht die Aufgabe ja morgen nooch anders aus. 
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:27 Mo 11.04.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo,
> lösung
> gute Nacht
Danke!
Gruss
kushkush
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