Stetigkeit einer Funktion < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:02 Di 20.03.2007 | | Autor: | Kiuko |
Wir haben das Thema Stetigkeit nur kurz angeschnitten und ich weiß soviel:
Eine funktion ist stetig, wenn man sie ohne absetzen des Bleistiftes zeichnen kann.... (das bringt mir nun herzlich wenig bis auf: ich erkenne es auf anhieb, wenn ich sie sehe)
Doch wie rechnet man denn das nochmal genau?
Hat jemand Zeit und kann mir es anhand einer einfach gestellten Aufgabe erklären?( Im Buch sind nur schwere Beispiele und da weiß ich auch nicht genau, wie eine Aufgabe in der Prüfung aussehen könnte.. :( )
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Hallo!
Nun, die mathematische Idee ist nicht viel anders, als die anschauliche.
Laß mich die anschauliche etwas anders schreiben:
Nimm einen beliebigen Punkt der Funktion. Jetzt nimm zwei Bleistifte, und fahre die Funktion von beiden Seiten kommend in Richtung des gewählten Punktes ab.
Treffen sich die Bleistifte, so ist die Funktion stetig!
Jetzt mathematisch: Nimm einen Punkt mit x-Wert a.
[mm] $\lim_{x \to a_-}f(x)=f(a)=\lim_{x \to a_+}f(x)$
[/mm]
Gut, der Punkt f(a) muß überhaupt existieren, sonst ist die Funktion eh nicht stetig. Der linke Limes besagt, daß x von links kommend sich immer weiter a nähert, und der rechte Limes eben von der anderen Seite.
Beispiel:
$f(x)=x$ soll untersucht werden bei a=0
$f(a)=0$
[mm] $\lim_{x \to a_-}f(x)=0$
[/mm]
[mm] $\lim_{x \to a_+}f(x)=0$
[/mm]
Beispiel:
[mm] $f(x)=\frac{1}{x}$ [/mm] soll untersucht werden bei a=0
Gut, f(a) existiert nicht, daher ist es schonmal unstetig. Aber vergessen wir das mal kurz:
[mm] $\lim_{x \to a_-}f(x)=-\infty$
[/mm]
[mm] $\lim_{x \to a_+}f(x)=+\infty$
[/mm]
Die beiden Grenzwerte sind nicht gleich!
Beispiel:
[mm] $f(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x<0 \\ 1, & \mbox{für } x \ge 0 \end{cases}$
[/mm]
$f(a)=1$
[mm] $\lim_{x \to a_-}f(x)=0$
[/mm]
[mm] $\lim_{x \to a_+}f(x)=1$
[/mm]
Hier macht uns der linksseitige Limes einen Strich durch die Rechnung.
Generell gilt also für dich: Nicht definierte Stellen (z.B. Polstellen, hebbare Definitionslücken) sind unstetig, sowie Funktionen mit Sprüngen.
Von daher kann man das ganze zwar irgendwie mathematisch angehen, aber praktisch muß man einfach schauen, ob und wo die Fkt. solche Sachen macht.
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