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| Aufgabe | Sei [mm] f:\mathbb{R}^{2}\rightarrow\mathbb{R} [/mm] die durch [mm] f(x,y):=\begin{cases}
\frac{y}{x^{2}}e^{-\left|\frac{y}{x^{2}}\right|} & \mbox{für }x\neq0\\
0 & \mbox{für }x=0\end{cases}.
[/mm]
Zeige: g ist stetig auf jeder Geraden durch (0,0). |
Hallo,
ich habe leichte Schwierigkeiten bei der Aufgabe. Normalerweise zeige ich Stetigkeit bei solchen Aufgaben per Folgenkriterium. Wie mache ich das aber für f auf jeder Geraden durch (0,0)? Muss ich mir dann eine beliebige Folge (*,*) definieren, die den Wert (0,0) enthält?
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Naja,
jede Gerade durch (0,0) hat ja die Form y = mx oder x=0,y beliebig.
Nun musst du noch zeigen, dass f für diese Fälle gegen 0 geht, wenn du "auf der Geraden" gegen 0 läufst.
MfG,
Gono.
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Wenn ich mir jetzt für den ersten Fall so eine Folge definiere [mm] (mx_n,y_n)_{n\in \mathbb{N}} [/mm] mit [mm] mx_n\rightarrow [/mm] mx und [mm] y_n\rightarrow [/mm] y.
Dann komme ich für lim [mm] f(mx_n,y_n) [/mm] zu
[mm] =\mbox{lim}\left[\frac{y_{n}}{m^{2}x_{n}^{2}}\cdot e^{-\left|\frac{y_{n}}{m^{2}x_{n}^{2}}\right|}\right]=\mbox{lim}\frac{y_{n}}{m^{2}x_{n}^{2}}\cdot\mbox{lim}e^{-\left|\frac{y_{n}}{m^{2}x_{n}^{2}}\right|}.
[/mm]
Wie rechne ich da konkret den zweiten Limes, also mit der e-Funktion aus. Ich kann doch nicht einfach den Limes in den Exponenten ziehen oder?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:44 Di 12.05.2009 | | Autor: | T_sleeper |
Das war Blödsinn merke ich gerade. Ich habe ja [mm] y_n=mx_n [/mm] damit ist dann alles klar.
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Ich machs nochmal so wie es sein sollte:
Sei also [mm] (x_n,y_n)_{n\in \mathbb{N}} [/mm] bel. Folge mit [mm] y_n=mx_n [/mm] und [mm] x_n\rightarrow [/mm] x.
Dann muss ich zeigen: [mm] f(x_n,y_n)\rightarrow [/mm] f(x,y).
Mit einsetzen folgt:
lim [mm] f(x_n,y_n)==\mbox{lim}\left[\frac{mx_{n}}{x_{n}^{2}}\cdot e^{-\left|\frac{mx_{n}}{x_{n}^{2}}\right|}\right]=\mbox{lim}\left[\frac{m}{x_{n}}\cdot e^{-\left|\frac{m}{x_{n}}\right|}\right]
[/mm]
Wie komme ich ab da weiter, so dass am Ende f(x,y) rauskommt?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:54 Di 12.05.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
da soll doch wohl f(0,0) rauskommen?
wenn dus nicht kannst fuer x gegen 0 lass 1/x gegen [mm] \infty [/mm] gehen, das ist vielleicht gewohnter.
ein lim ist nix wert wenn man nicht weiss was wohin!
Schreib praeziser und du lenkst auch deine eigenen Gedanken.
Gruss leduart
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> Hallo
> da soll doch wohl f(0,0) rauskommen?
Naja ich weiß gerade nicht, ob wir uns richtig verstehen.
Vielleicht hab ich auch nur ein Brett vorm Kopf.
Ich will ja zeigen, dass g stetig auf jeder Geraden durch (0,0) ist und nicht, dass g stetig in (0,0) ist (denn das ist g definitiv nicht).
Und eine Gerade durch (0,0) hat die Form y=mx.
Also wollte ich eine Folge definieren [mm] (x_n,mx_n)_{n\in \mathbb{N}}...
[/mm]
> wenn dus nicht kannst fuer x gegen 0 lass 1/x gegen [mm]\infty[/mm]
> gehen, das ist vielleicht gewohnter.
> ein lim ist nix wert wenn man nicht weiss was wohin!
... und für diese Folge soll [mm] \underset{n\rightarrow \infty}{lim} x_n=x [/mm] gelten, also insgesamt [mm] \underset{n\rightarrow\infty}{lim} (x_n,mx_n)=(x,mx).
[/mm]
Weiterhin muss ich dann doch zeigen:
[mm] \underset{n\rigtharrow\infty}{lim} f(x_n,mx_n)=f(x,mx) [/mm] und da komme ich nun nicht weiter.
> Schreib praeziser und du lenkst auch deine eigenen
> Gedanken.
> Gruss leduart
>
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:16 Di 12.05.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
f ist doch sowieso auf allen Punkten [mm] x,y\ne [/mm] 0 stetig, also auch auf den pkten der Geraden.
Interessant ist also nur, wenn man auf ner Geraden nach (0,0) laeuft, ob sie dann da stetig ist.
Steig in (0,0) heisst dass fuer jeden Pkt in einem [mm] \delta [/mm] kreis um 0 die Differenz der fktwerte kleiner [mm] \epsolon [/mm] ist.
hier muss das nur auf den pkten der geraden gelten. (Also koennte es nicht sttig sein wenn du mit [mm] y=ax^2 [/mm] oder [mm] x=ay^2 [/mm] reinlaeufst)
gruss leduart
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Okay, aber wie muss ich das dann genau zeigen (und am besten nicht mit [mm] \varepsilon [/mm] - [mm] \delta) [/mm] ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:02 Mi 13.05.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
dann nimm halt Folgen [mm] x_n [/mm] gegen 0.
was hast du gegen [mm] \epsilon, [/mm] das musst du eh lernen. Folgenstetigkeit ist leicht um Unstetigkeit zu zeigen, [mm] \epsilon \delta [/mm] fuer Stetigkeit.
im 1. Fall musst du nur eine folge finden, im Stetigkeits fall es fuer ALLE Folgen zeigen.
Das problem ist ja jetzt nur noch ein gewoehnliche Stetigkeitsbeweis, nicht mehr 2d.
Gruss leduart
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> Hallo
> dann nimm halt Folgen [mm]x_n[/mm] gegen 0.
Wenn ich das aber mache kriege, ich doch ein Problem.
Im Faktor vor der e-Funktion, also [mm] \frac{y}{x^{2}} [/mm] kann ich doch nicht für [mm] x^2 [/mm] [mm] x_n [/mm] einsetzen, wenn [mm] x_n [/mm] gegen 0 geht oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:25 Mi 13.05.2009 | | Autor: | fred97 |
Die Sache ist einfacher als Du glaubst:
Gegeben: die Gerade y= mx. Schränkst Du f auf diese Gerade ein, so erhälst Du die Funktion
$g(x) = [mm] \bruch{m}{x}e^{- \bruch{|m|}{|x|}}$, [/mm] falls $x [mm] \not= [/mm] 0$
und
$g(0) = 0$
Diese Funktion ist ohne jeden Zweifel stetig in jedem Punkt $x [mm] \not= [/mm] 0$.
Im Punkt [mm] x_0 [/mm] = 0 haben wir:
[mm] $\limes_{x \rightarrow 0}g(x) [/mm] = 0 = g(0)$
FRED
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> Die Sache ist einfacher als Du glaubst:
>
> Gegeben: die Gerade y= mx. Schränkst Du f auf diese Gerade
> ein, so erhälst Du die Funktion
>
> [mm]g(x) = \bruch{m}{x}e^{- \bruch{|m|}{|x|}}[/mm], falls [mm]x \not= 0[/mm]
genau. Aber für [mm]g(x) = \bruch{m}{x}e^{- \bruch{|m|}{|x|}}[/mm], falls [mm]x \not= 0[/mm] muss ich dann doch noch die Stetigkeit genau beweisen, d.h. den Limes bilden und das bereitet mir Schwierigkeiten.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:44 Mi 13.05.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
[mm] e^{1/x}\le 1+1/x+1/(2x^2)+1/(6x^3)
[/mm]
[mm] 1/x*e^{-1/x}=1/(x*e^{1/x})
[/mm]
kannst du jetzt abschaetzen?
Ohne die eigenschaft der e-fkt zu benutzen kann man das nie.
vielleicht habt ihr auch schon gehabt, [mm] e^x [/mm] steigt fuer x gegen unendlich staerker als jede Potenz von x?
also [mm] x^n/e^x [/mm] gegen 0 fuer x gegen [mm] \infty [/mm] fuer jedes n.
oder benutze l'Hopital.
Gruss leduart
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Hallo,
also das mit dem Abschätzen der e-Fkt. ist mir jetzt klar.
Ich muss aber nochmal zum Wesentlichen für mich zurückkommen.
Wenn ich nun zeigen muss, dass f auf jeder Geraden durch (0,0) stetig ist, muss ich mir doch eine Nullfolge raussuchen und zeigen: wenn diese gegen Null geht, dann geht f von dieser Folge gegen f(0). Richtig oder? Also mal anders:
Sei [mm] (x_n,mx_n)_{n\in \mathbb{N}} [/mm] bel. Folge mit [mm] \underset{n\rigtharrow \infty}{lim}(x_n,mx_n)=(0,0), [/mm] also konkreter [mm] \underset{n\rightarrow \infty}{lim}x_n=0.
[/mm]
So und nun zum Wesentlichen:
[mm] \underset{n\rightarrow \infty}{lim}f(x_n,mx_n)=\underset{n\rightarrow \infty}{lim}\frac{m}{x_{n}}e^{-\left|\frac{m}{x_{n}}\right|}
[/mm]
Diesen Limes kann ich nicht bilden, da [mm] x_n [/mm] im Nenner gegen 0 geht. Da Zähler und Nenner gegen 0 gehen, könnte ich l'Hopital anwenden, aber dann komme ich immer nur auf ähnliche Ausdrücke, wo dann auch ein [mm] x_n [/mm] im Nenner steht (bzw. darf ich überhaupt differenzieren? Denn da steht doch ein Betrag im Exponenten der e-Fkt?).
Am Ende soll doch f(0,0) rauskommen. Wie komme ich da jetzt weiter, bzw. wo liegt mein Fehler?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:39 Mi 13.05.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ich versteh nicht, was du mit all den posts machst. Wenn du da keinerlei Wissen ueber die efkt reinsteckst sondern wie gebannt auf das 1/x starrst kannst du nix zeigen.
Was war mit meinem Vorschlag den anfang der Reihe zu benutzen?
Wenn dich der Betrag stoert, nimm hal einmal xn<0 und dann [mm] x_n [/mm] >0. und -0=+0
und was du mit l'Hopital gemacht hast versteh ich auch nicht. damit geht es auch.
Gruss leduart
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Hallo,
ich habe jetzt mal deine Idee benutzt, also erstmal ein bisschen umgeschrieben:
[mm] \underset{n\rightarrow\infty}{\mbox{lim}}\frac{m}{x_{n}}e^{-\left|\frac{m}{x_{n}}\right|}=\underset{n\rightarrow\infty}{\mbox{lim}}\frac{m}{x_{n}\cdot e^{\left|\frac{m}{x_{n}}\right|}}
[/mm]
Wenn ich nun [mm] ^e^{\left|\frac{m}{x_{n}}\right|} [/mm] nach unten abschätze (also mit der Exponentialreihe), dann folgt:
[mm] e^{\left|\frac{m}{x_{n}}\right|}\leq1+\frac{|m|}{|x_{n}|}+\frac{|m|}{2|x_{n}^{2}|}+\frac{|m|}{6|x_{n}^{3}|}
[/mm]
Damit komme ich dann aber immer noch nicht wirklich weiter, weil mein [mm] x_n [/mm] ja gegen 0 geht.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:34 Mi 13.05.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
dann mult. das doch mit dem [mm] x_n, [/mm] gegen was strebt dann der Nenner ? und das Ganze?
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:10 Do 14.05.2009 | | Autor: | fred97 |
Es geht doch im wesentlichen um
[mm] $\limes_{t\rightarrow \pm \infty}te^{-|t|}$
[/mm]
Es ist (mit l'Hospital)
[mm] $\limes_{t\rightarrow \infty}te^{-|t|}=\limes_{t\rightarrow \infty}te^{-t}= \limes_{t\rightarrow \infty}\bruch{t}{e^t} [/mm] = [mm] \limes_{t\rightarrow \infty}\bruch{1}{e^t}= [/mm] 0$
Genauso sieht man
[mm] $\limes_{t\rightarrow - \infty}te^{-|t|}= [/mm] 0$
FRED
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> Es geht doch im wesentlichen um
>
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> [mm]\limes_{t\rightarrow \pm \infty}te^{-|t|}[/mm]
>
>
> Es ist (mit l'Hospital)
>
> [mm]\limes_{t\rightarrow \infty}te^{-|t|}=\limes_{t\rightarrow \infty}te^{-t}= \limes_{t\rightarrow \infty}\bruch{t}{e^t} = \limes_{t\rightarrow \infty}\bruch{1}{e^t}= 0[/mm]
Ja das finde ich gut.
nur bei mir steht kein t sondern [mm] \frac{m}{x_{n}}\cdot e^{-\left|\frac{m}{x_{n}}\right|}, [/mm] wobei [mm] x_n [/mm] meine Nullfolge ist.
Kann ich dann einfach [mm] \frac{m}{x_{n}}:=t [/mm] setzen und den Limes für t gegen unendlich betrachten? Darf man das?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:26 Do 14.05.2009 | | Autor: | fred97 |
Das darf man !
FRED
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