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Hallo Leute.
Ich habe ein Problem mit der Epsilon Delta Definition für Stetigkeit.
Und zwar komme ich mit den "Variablen" Epsilon und Delta nicht zurecht. Handelt es sich dabei um einen Zahlenbereich um den Wert, an dem die Stetigkeit zu prüfen ist ?
Außerdem, ist laut Definition Delta abhängig vom gewählten Epsilon. Wenn ich also Epsilon wähle, wie kann ich wissen was dann Delta ist ?
Könnte mir jemand ein Beispiel geben:
Angenommen ich habe f(x)=3*x+2 und will auf Stetigkeit an x=3 prüfen.
Gruß Thorsten
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:38 Sa 28.04.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Hallo Leute.
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> Ich habe ein Problem mit der Epsilon Delta Definition für
> Stetigkeit.
> Und zwar komme ich mit den "Variablen" Epsilon und Delta
> nicht zurecht. Handelt es sich dabei um einen Zahlenbereich
> um den Wert, an dem die Stetigkeit zu prüfen ist ?
Nein. Die Stelle, an der man die Stetigkeit prüft nennt man oft [mm] x_0 [/mm] oder auch a also in deinem Beispiel a=3.
> Außerdem, ist laut Definition Delta abhängig vom gewählten
> Epsilon. Wenn ich also Epsilon wähle, wie kann ich wissen
> was dann Delta ist ?
Es ist nicht eine Definition von [mm] \delta, [/mm] sondern das ist ne Zahl, die man abhängig von [mm] \varepsilon [/mm] und meist auch von der Stelle a angeben muss.
Das passende [mm] \delta [/mm] zu finden ist die Kunst bei Sttigkeitsbeweisen und es gibt kein Patentrezept.
Die Definition sagt anschaulich es gibt beliebig nahe an f(a) funktionswerte, die sich von f(a) höchstens um [mm] \varepsilon [/mm] unterscheiden! Dazu muss man unter Umständen sehr nahe an a ranrücken.
> Könnte mir jemand ein Beispiel geben:
> Angenommen ich habe f(x)=3*x+2 und will auf Stetigkeit an
> x=3 prüfen.
Das ist eigentlich zu einfach |f(x)-f(a)|=|3x-3a|=3*|x-a|
es ist sofort klar, damit [mm] 3*|x-a|<\varepsilon [/mm] muss [mm] |x-a|<\varepsilon/3 [/mm] sein, also wählt man [mm] \delta=\varepsilon/3.
[/mm]
Wenn man das gesehen hat, kann man auch damit anfangen und direkt sagen zu jeden [mm] \varepsilon [/mm] kann man [mm] \delta=\varepsilon/3 [/mm] wählen, sodas....
wenn du statt 3x 77x nimmst musst du [mm] \delta=\varepsilon/77 [/mm]
nehmen, du siehst je steiler die Kurve ist um so kleiner das [mm] \delta! [/mm] Wenn eine Kurve wie etwa [mm] x^2 [/mm] immer steiler wird, muss man immer kleinere [mm] \delta [/mm] nehmen, je größer a ist, d.h. jetzt hängt [mm] \delta [/mm] nicht nur von [mm] \varepsilon [/mm] ab, sondern auch von der Stelle a.
Etwas klarer?
Mach dir aus Papier einen kleinen Streifen der Höhe [mm] 2*\varepsilon, [/mm] wie breit darf er höchstens sein, damit die Kurve an der Stelle a innerhalb des Streifens bleibt. diese Streifenbreite ist das gesuchte [mm] \delta [/mm] zu dem spezielen [mm] Papier-\varepsilon
[/mm]
Gruss leduart
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Hallo Leduart.
Danke für die ausführliche Antwort. Es hat mir sehr geholfen. Jetzt seh ich die Sache schon viel klarer.
Gruß Thorsten
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